2019年全国中考数学真题分类汇编3:代数几何综合压轴题 下载本文

∴tan?ACP?1 3作PH?AC于H点,设P(m,0),则AP?3?m ∴PH?AH?22(3?m),CH?(3?m) 222(3?m)PH1∴2??tan?ACP?

CH32(3?m)23?m13? 解得m? 3?m3233∴P(,0) ∴l:y??x?

22即

2.(2019年山东省滨州市)如图①,抛物线y=﹣

x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于

点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90°,所得直线与x轴交于点D. (1)求直线AD的函数解析式;

(2)如图②,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点 ①当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离; ②当点P到直线AD的距离为

时,求sin∠PAD的值.

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想 【解答】解:(1)当x=0时,y=4,则点A的坐标为(0,4), 当y=0时,0=﹣

x2+x+4,解得,x1=﹣4,x2=8,则点B的坐标为(﹣4,0),点C的坐标为(8,0),

∴OA=OB=4, ∴∠OBA=∠OAB=45°,

∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD, ∴∠BAD=90°, ∴OAD=45°, ∴∠ODA=45°, ∴OA=OD,

∴点D的坐标为(4,0),

设直线AD的函数解析式为y=kx+b,

,得

即直线AD的函数解析式为y=﹣x+4;

(2)作PN⊥x轴交直线AD于点N,如右图①所示, 设点P的坐标为(t,﹣∴PN=(﹣

t2+t+4),则点N的坐标为(t,﹣t+4),

t2+

t,

t2+t+4)﹣(﹣t+4)=﹣

∴PN⊥x轴, ∴PN∥y轴,

∴∠OAD=∠PNH=45°,

作PH⊥AD于点H,则∠PHN=90°, ∴PH=

(﹣

t2+t)=t=﹣(t﹣6)2+),

∴当t=6时,PH取得最大值,此时点P的坐标为(6,

即当点P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是(6,②当点P到直线AD的距离为

时,如右图②所示,

),最大距离是;

则t=,

解得,t1=2,t2=10, 则P1的坐标为(2,当P1的坐标为(2,

),P2的坐标为(10,﹣),则P1A=

),

∴sin∠P1AD==;

当P2的坐标为(10,﹣),则P2A==,

∴sin∠P2AD==;

由上可得,sin∠PAD的值是或.

3. (2019年山东省菏泽市)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.

(1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在第二象限内,且PE=

OD,求△PBE的面积.

(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】待定系数法、面积问题、三角函数、探究等腰三角形问题

【解答】解:(1)点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=﹣1,则点B(﹣4,0),

则函数的表达式为:y=a(x﹣2)(x+4)=a(x2+2x﹣8), 即:﹣8a=﹣2,解得:a=故抛物线的表达式为:y=

x2+x﹣2;

(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得: 直线BC的表达式为:y=﹣

x﹣2,则tan∠ABC=

x2+

,则sin∠ABC=,

设点D(x,0),则点P(x,∵PE=∴PE=(

x﹣2),点E(x,x﹣2),

OD, x2+

x﹣2﹣

x+2)=

(﹣x),

解得:x=0或﹣5(舍去x=0), 即点D(﹣5,0)

S△PBE=

(﹣4﹣x)=

×PE×BD=;

(x2+x﹣2﹣x+2)

(3)由题意得:△BDM是以BD为腰的等腰三角形,只存在:BD=BM的情况,

BD=1=BM,

则yM=﹣BMsin∠ABC=﹣1×则xM=﹣故点M(﹣

, ,﹣

).

=﹣

4. (2019年山东省枣庄市)已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交