6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙 水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求
?v0 m O R (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
12MR2
，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒． mv0R＝( ??12MR2＋mR2)?
mv0?1??M?m?R?2?
(2) 设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 Mf??R0r?g??2?rdr＝(2 / 3)???gR＝(2 / 3)?MgR
123
设经过?t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －Mf??t＝0－J?＝－(∴ ?t?mv0RMfMR2＋mR2)?＝- mv 0R
mv0R?3mv02?Mg??2/3??MgR
7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧
12L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬
1212L L L v0 O 时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为
13ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)
2v0
解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为
?3L/20?v0xdx??L/20?v0xdx??v0L?212mv0L
式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为
221?3?3?1?1??72mL? J???m?L??m?L????3?4?2??12?4?2??因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?212mv0L
∴ ? = 6v0 / (7L)
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8. 长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．
(2) 细杆摆起的最大角度?．
解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为?，系统角动量守恒 得： J? = mv0l
由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能 代入J＝
132m lO l?M
12mv0?212J?
2Ml，由上述两式可得 M＝3m
(2) 由机械能守恒式
12mv0?mgl及
212J?2?112Mgl?1?cos??
并利用(1) 中所求得的关系可得 ??arccos
3
四 研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一
质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
因为刚体的转动惯量?ri?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为
12mR，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴
22的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答：
根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。
由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。
非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。
3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
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参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．
当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系． 解题：由质心运动定理:?Fr?m因Fr?? mgdvcdt
, 得
vc?vc0??g (1)
32R由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?
?RFr?(23mR)2d?dt, 得 ???0??gt (2)
由(1),(2)两式可得 ???0?可得 ?0?3vc.2R3vc.?vc2R, 令 vc?0 ； ??0
这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
第3章 狭义相对论
一、选择题
1(B)，2(C)，3(C)，4(C)，5(B)，6(D)，7(C)，8(D)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). c
(2). 4.33310-8s (3).?? ?x/v , (?x/v)1?(v/c) (4). c (5). 0.99c (6). 0.99c
(7). 8.89310-8 s (8).
123c
2(9). v?3c/2，v?3c/2
(10). 931016 J, 1.531017 J 三、计算题
1. 在K惯性系中观测到相距?x = 9310 m的两地点相隔?t=5 s发生两事件，而在相对于K系沿x方向以匀速度运动的K＇系中发现此两事件恰好发生在同一地点．试求在K＇系中此两事件的时间间隔．
解：设两系的相对速度为v , 根据洛仑兹变换， 对于两事件，有
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?x??x??v?t?2
1?(v/c) ?t??t??(v/c)?x?22
1?(v/c)由题意： ?x??0
可得 ?x = v ?t 及 ?t??t?1?(v/c)2，
由上两式可得 ?t???t1?(v/c)2?((?t)2?(?x/c)2)1/2= 4 s
2.在K惯性系中，相距?x = 53106 m的两个地方发生两事件，时间间隔?t = 10-2 s；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K＇系中发生这两事件的地点间的距离?x＇是多少？
解：设两系的相对速度为v．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有
?x??v?t? ?x?
21?(v/c) ?t??t??(v/c)?x?22
1?(v/c)由题意： ?t??0
可得 ?t?(v/c2)?x 及 ?x???x1?(v/c)2
由上两式可得 ?x??[(?x)2?(c2?t/c)2]1/2?[?x2?c2?t2]1/2= 43106 m
3. 一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于地面以v?0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？
解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 L?L01?(v/c)2-7
?54 m
则 ?t1 = L/v =2.25310 s
(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L0，则
-7
?t2 = L0/v =3.75310 s
4. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根
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