高中物理中的临界与极值问题 下载本文

联立解得最短的时间t1?2s (7)

32t1 滑行段的位移、初速度、加速度分2323222别为15?t1、3t1、-2,设滑行段末速度为vt,则vt?(3t1)?2?(?2)(15?t1)

22证明:设恒力F作用时间为t1,则加速段位移s1?2解得vt?15t1?60?0,故t1?2 即恒力作用时间最小需要2s。

亦即滑行至末速恰好为零所需的时间为2s (也可通过v-t图像证略) 。

例题8. 甲车以v1在平直的公路上匀速行驶,乙车在甲车后方距离甲车S处以更大的速度v2同向行驶,如果甲车的行驶速度保持不变,为了确保两车不相撞,乙车做匀减速直线运动的加速度大小至少为多大?

解法一:临界状态为乙车从v2匀减速至v1时恰好追上甲车。设乙车做匀减速直线运动的加速度最小值为a,恰追上时历时t0则v乙=v2?at0 令v乙=v2?at0=v1 解得t0?v2?v1 a12v2?v11v2?v12v22?v12v2?v1?a?()?又因为s甲=v1t0?v1? s乙=v2t0?at0?v2?

2a2a2aa(v2?v1)2令s甲+s?s乙 解得a?

2s解法二:以甲车为参照物,乙车的相对初速度为v2?v1,设加速度(亦即相对加速度)为a

22相对末速度为0,相对位移为S,则有(v2?v1)?0?2as 所以

(v2?v1)2a?

2s例题9.如图所示,竖直放置的U形导轨宽为L,上端串有电阻R(其余导体部分的电阻都忽略不计)。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。

金属棒ab的质量为m,与导轨接触良好,不计摩擦。从静止释放后ab保持水平下滑。试求ab下滑的最大速度vm。

解析:释放瞬间ab只受重力,开始向下加速运动,只要ab有速度,在ab上就会产生动生电动势,在回路中就会产生电流,由左手定则知,ab会受到向上的安培力的作用。动生电动势会随着速度的增大而不断的增大,回路中电流就会不断的增大,根据F安=BIL,安培力会不断的增大,则ab做加速度减小的加速运动,其速度不会无限的增大,当F安?mg?0时,其加速度就变为0,速度达到最大,开始做匀速直线运动。因此,在从变速运动状态变到匀速状态之间有一个速度达到最大的状态,此状态的临界条件就是ab受的的重力大小等于安培力大

mgRB2L2vmvm?22F??mgRBL 小。抓住这个临界条件,由,可得

例题10-1.如图所示,m =4kg的小球挂在小车后壁上,细线与竖直方向成37°角。要使后壁

对小球不产生力的作用小车的加速度应满足的条件?

解析:小车向左加速或向右减速时,后壁对小球的作用力N有可能减为零,这时小球将离开后壁而“飞”起来。这时细线跟竖直方向的夹角会改变,因此细线拉力F的方向会改变。所以必须先求出这个临界值。分析知在该临界状态下,

小球竖直方向平衡, 则Fcos37=mg 细线拉力水平分量使得小球在水平方向加速,则Fsin37?ma 联立解得 小车向左加速或向右减速的加速度大小至少为a=g?tg37

例题10-2.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a<g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。 解析:以拴接于簧下的物体为研究对象,设物体与平板整体向下运动的距离为x时,物体受重力mg和弹簧的弹力F=kx及平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有:

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

000x?当N=0时,物体与平板分离,所以分离时

m(g?a)k

1t?x?at22依,则

2m(g?a)ka。

例题10-3.如图1所示,质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下,一起沿光滑的

水平面运动,A与B的接触面光滑,且与水平面的夹角为60°,求使A

F A B 与B一起运动时的水平力F的范围。

60° 解析: 当水平推力F很小时,A与B一起做匀加速运动,当F较大时,

图1

B对A的弹力FN竖直向上的分力大小等于A的重力时,地面对A的支持FFy 力FNA为零,此后,物体A将会相对B滑动。显而易见,本题的临界条件是

A Fx 60F 水平力F为某一值时,恰好使A沿A、B接触面向上滑动,即物体A对地面的压力恰Mg 图2 好为零,受力分析如图2。

对整体有:F?2M?a;

?F?Fsin60?Ma, F?0NNA隔离A,对于的临界状态有

FNcos60??Mg?0。

解得:F?23Mg

所以F的范围是0≤F≤23Mg

?例题10-4.某斜面放在水平地面上,倾角??53,一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面

顶端,如图3所示。斜面静止时,球紧靠在斜面上,绳与斜面平行,不计斜面与水平面的摩擦,当斜面以10m的弹力。(g取10ms2s2的加速度向右运动时,求细绳的拉力及斜面对小球

a )

θ 图3 解析:斜面由静止向右加速运动过程中,斜面对小球的支持力将会随着a

的增大而减小,当a较小时,小球受到三个力作用,此时细绳平行于斜面;当a增大时,斜面对小球的支持力将会减少,当a增大到某一值时,斜面对小球的支持力为零;若a继续增大,小球将会“飞离”斜面,此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度a?10ms2,到底属于上述哪一种情况,必须先假定小球能够脱离斜面,然后求出小

球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0,此时斜面对小球的支持力恰好为零,小球只受到重力和细绳的拉力,且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图4所示。显然有

2mg?ctg??ma0 代入数据解得a0?7.5m/s

? ma0

G 图4

2因为a?10m/s>a0,所以小球已离开斜面,斜面的支持力FN?0。

同理,由受力分析可知,细绳的拉力为:

T?(mg)2?(ma)2?2.83N

此时细绳拉力T与水平方向的夹角为:??arctgmg?45 ma例题10-5.如图8所示,一光滑的半径为R的半圆形轨道位于竖直平面内,其最低点与水平地面相切于A点,一个质量为m的小球以某一速度从C点冲上轨道,当小球将要从轨道口B点飞出时,轨道的压力恰好为零,则(1)小球到达B点的速度为多大?(2)落地点C距A处多远?

解析:小球在B点受重力mg、轨面向下的弹力NB,依牛顿

vB2vB2?mg=0 第二定律有mg?NB?m 而依题意知NB?mRR所以 vB=Rg 4R 所以落点C到轨道最低点A距离为g小球离开B点后平抛运动历时t?

x?vB?4R?2R g例10-6.(99年全国卷)如图示,两木块的质量分别为m1和m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接),整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为(参考答案:C) A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2

【解析】此题属于较为简单的问题,是考察胡克定律及共点力平衡条件的题目.题中物体间距离的变化,要通过弹簧形变量的计算求出.缓慢上提过程,说明整个过程系统始终处于一种动态平衡状态,直至m1离开上面的弹簧.同时还应注意m1刚离开上面弹簧的临界状态是该簧恰处自然长度。初态时下面的弹簧被压缩,其压缩量为(m1 + m2)g/k2,而ml刚离开上面的弹簧时,下面的弹簧仍处于压缩状态,压缩量为m2g/k2,因此m2移动距离△x=(m1 + m2)·g/k2 - m2g/k2=mlg/k2.选C.

例题11-1..汽车在平直的水平路面上以20m行的加速度大小为2ms的速度匀速行驶,关闭发动机油门后匀减速滑

s2,最远还可以滑行多少距离?

vt2?02202?02??100(m) 解析:最远还可以滑行s?2a2?(?2)例题11-2.如图7所示,矩形匀强磁场区域的长为L,宽为L/2。磁感应强度为B,质量为m,

电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场,

欲使该电子由下方边界穿出磁场,求:电子速率v 的取值范围? 解析:带电粒子射入磁场后,由于速率大小的不同,导致粒子轨迹半径不同,如图所示。当速率最小时(设为v1),粒子恰好从d点射出,由图可知其半径r=L/4,

mv1eBL,得v1? 当速率最大时(设为v2),粒子恰 Be4mL222好从c点射出,由图可知其半径R满足R?L?(R?) 即

25LR?,

4mv25eBL又依据R? 故v2?

eB4m再由r?所以电子速率v的取值范围为:。

点评:本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向,由于入射粒子的速度大小不