任意四边形、梯形与相似模型

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAS2BS1OS3C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4

②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

S4蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△

AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

CBOAD

【分析】 根据蝴蝶定理求得S△AOD?3?1?2?1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是1?2?3?1.5?7.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

A2BC1G3D

BGC【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，S?1?2?3，那么SBGC?6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3． (？？？)

【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

1面积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

3AODAHODGCCBB 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SABD:SBCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3， ∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G．

1∵S?ABD?S?BCD，

31∴AH?CG，

31∴S?AOD?S?DOC，

31∴AO?CO，

3∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

【例 3】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、

4、4和6。求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积。

AOG

【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD的面积为2?4?4?6?16，那么△BCO和?CDO的面积都是16?2?8，

所以△OCF的面积为8?4?4；

⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为8?6?2，

根据蝴蝶定理，EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2，所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2，

112那么S?GCE?S?CEF??2?．

1?233

【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

DFCBE

D667AEC7B

【解析】 在ABE，CDE中有?AEB??CED，所以ABE，CDE 的面积比为(AE?EB):(CE?DE)。同

理有ADE，BCE的面积比为(AE?DE):(BE?EC)。所以有SABE×SCDE=SADE×SBCE，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即SABE?6=SADE?7，所以有ABE与ADE的面积

76比为7:6，SABE=?39?21公顷，SADE=?39?18公顷。

6?76?7显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积

为 。

ADBC【解析】 连接AD、CD、BC。

ADB

OC

则可根据格点面积公式，可以得到?ABC的面积为：1?43?1?2，?ACD的面积为：3??1?3.5，22?ABD的面积为：2?4?1?3． 24412?S?ABD??3?． 4?71111所以BO:OD?S?ABC:S?ACD?2:3.5?4:7，所以S?ABO?

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。

EDABC

【解析】 因为BD:CE?2:5，且BD∥CE，所以DA:AC?2:5，S?ABC?5510，S?DBC??2?． 2?577

【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，BE?2EC，CF?FD，求三角形AEG的面积．

AGDAGDFFB【解析】 连接EF．

EC

BEC

1111因为BE?2EC，CF?FD，所以S?DEF?(??)SABCD?SABCD．

23212111因为S?AED?SABCD，根据蝴蝶定理，AG:GF?:?6:1，

22126613所以S?AGD?6S?GDF?S?ADF??SABCD?SABCD．

774141322所以S?AGE?S?AED? S?AGD?SABCD?SABCD?SABCD?，

214772即三角形AEG的面积是．

7

【例 7】 如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长

方形ABCD的面积．

AGDFC

AGDFC

BEBE【解析】 连接AE，FE．

因为BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以S因为SAEDDEF3111?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD． 53210AFD111所以SAGD?5SGDF?10平方厘米，所以S?S长方形ABCD，AG:GF?:?5:1，

22101方厘米．因为SAFD?S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．

6?12平

【例 8】 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角

形BDG的面积．

AEDA

EDOFGCBB

【解析】 设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．

由蝴蝶定理可知EO:OC?S所以EO:OC?SBEDBED:SBCD，而SFGC1?S4

BEDABCD，SBCD1?S2ABCD，

:SBCD1?1:2，故EO?EC．

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