（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当b=

+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，

+a+2；

当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1； 当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=

﹣a+2．

综上可得，g（a）=；

（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1， 则

，

由于0≤b﹣2a≤1， 由此

≤s≤

（﹣1≤t≤1）， ≤st≤

，

=9﹣[（2（t+2）+，

]≤9﹣2

，

当0≤t≤1时，由﹣≤得﹣≤

≤0，由≤9﹣4

；

所以﹣≤b≤9﹣4当﹣1≤t＜0时，由于﹣2≤

≤st≤，

＜0，所以﹣3≤b＜0， ]．

＜0和﹣3≤

故b的取值范围是[﹣3，9﹣4

30．（2009?江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|． （1）若f（0）≥1，求a的取值范围； （2）求f（x）的最小值；

（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

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【解答】解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1??a≤﹣1

（2）当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴

，

如图所示：

当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2， ∴

．

综上所述：．

（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，

得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2 当a≤﹣

或a≥

时，△≤0，x∈（a，+∞）；

第22页（共25页）

当﹣＜a＜时，△＞0，得：

即

进而分2类讨论： 当﹣

＜a＜﹣

时，a＜

，

此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；

当﹣≤x≤时，＜a＜；

此时不等式组的解集为[综上可得， 当a∈（﹣∞，﹣当a∈（﹣

，﹣

]∪（

，+∞）．

，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；

）∪[

，+∞]；

）时，不等式组的解集为（a，

当a∈[﹣当a∈（﹣

，，

]时，不等式组的解集为[，+∞]．

）时，不等式组的解集为（a，+∞）．

31．（2008?江苏）已知函数

数f（x）定义为：对每个给定的实数x，

，

（x∈R，p1，p2为常数）．函

（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；

（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f

第23页（共25页）

（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）

【解答】解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于实数x均成立．（*）

由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|， 故（*）等价于（2）分两种情形讨论

（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]） 则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知

，

，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件

，即

对所有

再由的单调性可知，

函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度 为

（参见示意图）

（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，则p2﹣p1＞log32，于是 当x≤p1时，有当x≥p2时，有

从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为显然

这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知

，

，从而f（x）=f1（x）；

，及，由方程（1）

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综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）

故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即故由（1）、（2）得

，得p1+p2=a+b+log32（2）

综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为

．

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