E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr2?dU3?dU3r2
I3??J3e?dS??dr?ln?r?r1S3r1U3? ?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。
故得到沿?方向的电阻为 R3?解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为
E(r)?b?l 2??0rb由内外导体间的电压 U??Edr??a?l?bdr?lln 2??0r2??0aa得到 ?l?2??0U
ln(ba)由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 E(r)?在圆柱形电容器中，r?a处的电场强度最大 E(a)?令E(a)对a的导数为零，即
U
aln(ba)U
rln(ba)?E(a)1ln(ba)?1??2?0 2?aaln(ba)由此得到 ln(b/a)?1
bb故有 a??
e2.718eUEmin?U?2.718
bbql23.32 证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的
2C电容。
qlE(r)?解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为
2??r内外导体间的电压为
bb??bU??Edr??ldr?lln
2??r2??aaaql2??C??则同轴线单位长度的电容为
Uln(ba)22ql211qq112ll)2?rdr?同轴线单位长度的静电储能为 We???Ed????( ln(ba)?2?2a2??r22??2C3.33 如题3.33图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。
b
解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有 E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到
D1S1?D2S2?q
22即 2?r?1E?2?r?2E?q
qE?所以
2?r2(?1??2)导体球的电位
?1 a q ?2 o 题 3.33图
?qq1?(a)??Edr?dr? 2?2?(???)a2?(???)r1212aa?故导体球的电容 C?1q2（2） 总的静电能量为 We?q?(a)?
24?(?1??2)a3.34 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。
解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f，然后在半球面上对f积分，求出两半球之间的电场力。
导体球的电容为 C?4??0a
q2q2?故静电能量为 We? 2C8??0a根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力
1?We1?q2q2f????()? 224?a?a4?a?a8??0a32?2?0a4方向沿导体球表面的外法向，即 f?erf?
q?2?(?1??2)a ?(a)q232?2?0a4这里 er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos?
在半球面上对f积分，即得到两半球之间的静电力为
2??2er
2222?aqq2cos?sin?d??F??fdS???erasin?d?d?? eze 24?242z32??0a032??0a32??0a003.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入在电容率为?的液体中，两板间加电压U，证明液面升高
1Uh?(???0)()2
2?gd其中?为液体的质量密度。
解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的液面升高为h时，其电容为
?ah?0a(L?h)C??
ddU 金属板间的静电能量为 1aU22We?CU?[h??(L?h)?0] 22d液体受到竖直向上的静电力为 q2?2L h ? d 题3.35图
?WeaU2Fe??(???0)
?h2d而液体所受重力
Fg?mg?ahd?g
2aUFe与Fg相平衡，即 (???0)?ahdg
2d故得到液面上升的高度
(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器，当动片由0至180电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。
解 当动片为?角时，电容器的电容为
350?25C??25???25?1.81?PF?(25?1.81?)?10?12F
180112W?CU?(25?1.81?)?10?12U02 此时电容器中的静电能量为 e?022?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。
（1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？
（2）如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为?S、介电常
S 数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入， 如题3.37(b)图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？
解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电?d d U0
场为 UE0?0
d题3.37图(a)
?S电容为 C0?0
d?0SU0212静电能量为 We0?C0U0?
22dU0当插入金属板后，电容器中的电场为 E?
d??d2?0SU021?U0?此时静电能量和电容分别为 We??0? ?S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0SC??
U02d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为
?S?S?S?d?C?C?C0?0?0?0
d??ddd(d??d)?We?We?We0?
?0SU02?d2d(d??d)
（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2?静电能量为 We0? 2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E
再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q S qq E?于是得到极板间的电场为
??S??0(S??S) d ? ?0 qd U?Ed? 两极板间的电位差位 ?S ?q ??S??0(S??S) 211qd(b) 题3.37图
此时的静电能量为 We?qU?
22??S??0(S??S)
??S??0(S??S)其电容为 C?
d(???0)?S?C?故电容器的电容及能量的改变量分别为
d(???0)q2d1?We??
2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解决。
??t2?E?（1）证明：有源区E的微分方程为，?t????P；
?0（2）证明：E的解是 E?????td?? ?4??0?R1解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(?E)??2E?0
11又 ?E??(D?P)?(???P)
?0?(???P)??t2?E??故得到
?0?0??t2?E?（2）在直角坐标系中的三个分量方程为
?01??t1??t1??t22?2Ex??E??E?，， yz?0?x?0?y?0?z其解分别为
11??tEx??d?? ??4??0?R?x11??tEy??d?? ?4??0?R?y?11??tEz??d?? ?4??0?R?z?故 E?exEx?eyEy?ezEz?
?0