第四章 电磁学基础

静电学部分

4.2 解：平衡状态下受力分析 +q受到的力为：

?Fqq'?14??0?qq'?4qq'qr2

?Fq?4q??14??0?4q?ql2

rl??处于平衡状态：Fqq'?Fq?4q??0

14??0q'qr2?14??0?4q?ql2?0 （1）

14??0同理，4q

?受到的力为：F?4q?q'?q'?4q??l?r?2

?F?4q?q?14??0q?4q?l2

??F?4q?q'?F?4q?q?0

14??0q'?4q??l?r?2?14??0q?4q?l2?0

r?

l3

4（2）

通过（1）和（2）联立，可得： 4.3 解：根据点电荷的电场公式：

?E?14??0，q'??q

9q?er2r

?E??E?E??P点电荷到场点的距离为：r2?l2

E??14??20?qr?l2

r两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称： ?q

E//?2E?cos?

E??0

+ O?qll+ cos??rr?l22所以：

E?2E?cos??214??20qr?l22rr?l2?12??0qr?r2?l232?

当r??l

E?12??0qr2?14??02qr2 与点电荷电场分布相似，在很远处，两

个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。

4.4 解：取一线元dq??Rd?，在圆心处 产生场强：dE?14??0dqR2?14??0?Rd?R2

O?E???Ex分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向 的分量叠加：

x?dEx???014??0?Rd?R2sin???2??0R

?Rd?方向：沿x正方向 4.5 解：（1）两电荷同号，电场强度为零的点在内侧； （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7 解：线密度为λ，分析半圆部分：

dq??dl??rd?

dl点电荷电场公式：

?E?14??0yq?er2r

r1?O??Exx在本题中： E??rd?04??r2

14??0?Ey?E电场分布关于x轴对称：Ex?Esin??进行积分处理，上限为

E??rd?r2sin?，Ey?0

?2，下限为??rd??2：

?4??0?Esin????14??00r2sin???r?0sin?d???2??0r

方向沿x轴向右，正方向 分析两个半无限长：

Ex??dEx???2?2?4??0x?1sin?d???4??0x(cos?1?cos?2)

Ey??dEy???4??0x?1cos?d???4??0x(sin?2?sin?1)

?1??2，?2??， Ex??4??0x，Ey???4??0x

两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量：

E?2Ex?2?4??0r??2??0r

在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。

那么大O点的电场强度为：

E??2??0r???2??0r?0

4.8 解：E的方向与半球面的轴平行，那么 通过以R为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等。所以

通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半

?径圆面的电通量，即：?1??2??R2ER O S1 S2 ?E

图4-94 习题4.8用图

Q??4.9 解：均匀带电球面的场强分布：E??4 π?0r2?0??r?r?R??R?

球面R1、R2的场强分布为：

q??E1??4 π?0r2?0??q?r?r??q? E2??4 π?0r2?R1??0??R1??r?r?R2??R2?

qR1R2根据叠加原理，整个空间分为三部分：

??E1?E2?0?q?E??E1?E2?24??r0?q?q?E1?E2???022?4??0r4??0r??r?R1?R1??r?R2? ?R2??r根据高斯定理，取高斯面求场强：

??????2???E?dS?4?rE??S??q??0q?r?R1?R1?

?0??q?r?R2? ?R2??0?r

?0?q?场强分布：E??24??r0??0??r?R1?r?R1??r?R2? ?R2?方向：沿径向向外

4.10 解：（1）、这是个球对称的问题

??2?e??E?dS?E?dS?E4?r

SS?ER当r?R时，高斯面对包围电荷为Q

E4?r?2rrQ?0

E?Q4?r?02

Q当r?R，高斯面内包围电荷为q

q?4?r33Q4?R33?QrR33

E4?r2?Qr33?0R

E?Qr4??0R3

方向沿径向

（2）、证明：设电荷体密度为??Q43

3?R这是一个电荷非足够对称分布的带电体， 不能直接用高斯定理求解。但可以把这一带 电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀 带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的 均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时 补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。由电场 叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为：

???E?E1?E2

??r?a?r'??在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为：

???E1?r

3????r' 在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为： E2?3所以

????????Q??r?r'??E?E1?E2?a?a33?03?04??0R

4.11 解：利用高斯定理，把空间分成三部分

??????12???E?dS?4?rE??S??0?1???004343?r31?R1?R1??r?R??3?R1?r?R2? ?R2??R2??R2?R1??33?r??0???33场强分布： E??r?R12?3?0r??33R2?R12?3?r?0?r?R1?????R1?r?R2? ?R2???r方向：沿径向向外

4.12 解：取闭合圆柱面为高斯面，高斯定理

?l?r2??????0???E?dS?2?rlE??2Sl?R?????02R?r?r?R?

?R?r??r??2??场强分布：E??20R????2r?0?r?r?R?

?R?方向沿径矢方向

4.14 解：无限大带电平面的电场分布为：E?（1）电荷面密度均为σ 在一区：E?2??2?0?2?0，场强叠加

??2?0??2?0????0

E??2?0E?在二区：E??2?0?E??2?0E??2?0?0

一二三在三区：E?2??2?0??0

?E?（2）电荷面密度分别为σ和-σ 在一区：E?

?2?0???2?0?2?0E?????2?0?0

E??2?0E???2?0一二三

在二区：E??2?0???2?0??2?0???0

在三区：E??2?0??0

方向为垂直于平面方向

4.16 解：把总的电场力做功看做是正电荷+q 电场力做功和负电荷-q电场力做功的叠加， 得用公式(4—14)：

A?C?q?qO2lABD?rbQq04??0r2radr?Qq0?11???? 4??0?rb??ra?（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力做功。设试验电荷电量为

q0。

正电荷+q的电场力做功：A??qq0?11?qq0 ????4??0?l3l?6??0l?qq0?11?????0 4??0?ll?qq06??0lq6??0l负电荷-q的电场力做功：A??总的电场力做功：A0?A??A??A0q0

对单位正电荷做功为：A??

（2）把单位负电荷从AB的延长线移到无穷远处，电场力对它对做功。设试验电荷电量为-q0。

正电荷+q的电场力做功：A??q??q0??11??? ?4??0?3l???q??q0??11???? 4??0?l??q??q0?14??q6??0l0负电荷-q的电场力做功：A??总的电场力做功：A0?A??A??A0q03l??q??q0?14??0l?qq06??0l

对单位负电荷做功为：A??

R2q2q14.19 解：均匀带电球面内外的电势分布为：

R1

?Q??4??0rU?r???Q???4??0R?r?r?R?

?R?结合本题，先写出各个球面的电势分布，再利用电势叠加原理。

?q1??4??0r??q1???4??0R1?r?r?R1??R1?对于球面1：U10 对于球面2：U20?q2??4??0r??q2???4??0R2?r?r?R2?

?R2?整个空间内，电势分三部分：

r?R1U?q14??0R1U??q24??0R2? 对应于红色部分

R1?r?R2q14??0r?q24??0R2 对应于蓝色部分

r?R2U?q14??0rq24??0r 对应于外部空间 那么两个球面上的电势：

r?R1U1?q14??0R1q14??0R2?q24??0R2q24??0R2R2R1

??r?R2U2??

?两个球面之间的电势差为：

?U?q14??0R1?q14??0R2?q14??0?11??? ??R??1R2?此题也可得用积分来求

U???R??E?dl

4.22 解：做一闭合圆柱面为高斯面，求两个无限 长同轴圆筒间的电场强度

R1?r?R2??E?dl?E??2?r?0dr?

?2??0

?U??R2R1?R2?2?r?0R1lnR2R1

4.23 解：取无穷远处为电势零点 设导体球带电量为q’

qRrO

由于点电荷q的存在，我们并不清楚导体 球面上电荷的具体分布，但是球面上任何电荷元 dq到球心的距离都是R。导体球是等势体，只 需求出球心的电势就可以了。电势叠加原理

U??dq4??0Rq'?q4??0r

式中两项分别是导体球面上所有电荷和点电荷q在球心处的电势，积分得

U?q'4??0R?q4??0r

此为点电荷q电场影响下的，导体球的电势，根据题设，导体球电势为0

U?q'4??0R?q4??0rq'??0

可得：

?Rrq

4.28 解：基本的电容题，写出各个量

S?50?10?4m2，d?1?10?4m，?r?2.0，?0?8.85?10?12F/m

利用有介质时的平行板电容器的电容公式：

C??r?0Sd?2?8.85?10?12?50?10?4?41?10?8.85?10?10F

每个极板上的电荷量为：Q?CU?8.85?10?10?100?8.85?10?8C

4.30 解：充电后把电源断开，平行板电容器两个极板上的带电量不变，为Q0。

两极板距离为d时，C0??0Sd，U0?Q0C0，E0?12U0d，W0?Q0CQ022C0?12?0E0Sd

2两极板距离为

E?U2d?2U02d22d时，C??0S2d?C0，U??2Q0C0?2U0，

?E0

?2W0，或者：W?12W?Q02C?2Q022C0?0ES2d?212?0E0S2d?2W0

24.33 解：在真空中导体球外的电场分布为 E0?E0Q4??0rQ2，

有介质存在时的电场分布为 E??r?4??0r?r2，介电常数???r?0，

E?Q4??r2

12 导体球外整个空间介电常数为ε 电场能量密度 ??2?E

r?R取一均匀半径为r，厚度为dr的球壳， 球壳上E大小相等 球壳厚度为 dV?4?r2dr 电场能量为 W???12R?EdV?2??R1?Q?2???4?rdr 22?4??r?Q22 ?1Q224????1r2Rdr?8??RC?

4.36 解：球形电容器的电容公式

24??0R1R2R2?R1

电容器的能量 W?Q2C?12Q?U?12C??U?2

2 得到球形电容器所储存的能量为

W?14??0R1R22R2?R1U?2??0R1R2R2?R1U2

静磁学部分

????0Idl?er4.39 解：（a）根据毕萨定律：dB? 24?r对于导线2部分，P

??点在其延长线上，Idl?er?0，

2I1P所以导线2在P点的磁感应强度为0。 根据例4.19的结论：B?对于导线1：?1??2?0I4?aa?cos?1?cos?2?

?0I4?a，?2??，B??0I4?r，方向垂直纸面向外。

1rP2I（b）对于导线1、3，可视为半无限长载流导线，在P点 的磁感应强度分别为：B??2?，方向均垂直纸面向里。

3对于导线2，根据例4.20的结果：载流圆弧在圆心处的 磁感应强度为，BO?应强度为

??0I2R。导线2在圆心处的磁感

BO?1?0I?22r，方向均垂直纸面向里。

?0I4?r?2?磁场叠加：B??0I4r??0I（c）根据毕萨定律：dB?对于导线1、3部分，P

??04?2?r4r??Idl?er??0I，方向垂直纸面向里。

r2

??点在其延长线上，Idl?er?0，

21I3所以导线1、3在P点的磁感应强度为0。

对于导线2，根据例4.20的结果：载流圆弧在圆心处的 磁感应强度为，BO?感应强度为，BO??2??0I8R?RP?0I2R。导线2在圆心处的磁

，方向垂直纸面向里。

????Idl?er4.41 解：据毕萨定律：dB?0 24?rA对于导线A、B部分，P

??点在其延长线上，Idl?er?0，

2O1B所以导线A、B在P点的磁感应强度为0。

两段圆弧可以看做一个并联电路。设导线1对应弧度θ1， 导线2对应弧度θ2，θ1+θ2=2π。电阻之比为：

I1I2R1R2??1?2，

电流之比：

??2?1。

?12??导线1在圆心处的磁感应强度为：BO1??02R?I?22?I，方向垂直纸面向里。 ，方向垂直纸面向外。

导线2在圆心处的磁感应强度为：BO12??22??02R?12?所以在圆心处的全磁感应强度为0。

4.42 解：根据无限长载流导线的磁场分布公式

B??0I2?a

Iddr导线1在两导线中点处的磁感应强度为

B1??0I2?d2lI，方向垂直纸面向外

1rr1r2r32导线2在两导线中点处的磁感应强度为

B2??0I2?d2，方向垂直纸面向外

合磁感应强度为：B?2?0I?d，方向垂直纸面向外

在矩形中取一个小的面积元，ldr，在这个小面积上导线1产生的B是相等的。

B1??0I2?r，求磁通量：?1??r1?r2?0I2?rr1ldr??0Il2?r3?r2lnr1?r2r1

?0Il2?r3?r2r3同理可得导线2对这一矩形的磁通量：?2??0Il???0I2?rr3ldr?ln

因为r1?r3，并且磁场方向一致，??lnr1?r2r1

??4.43 解：利用安培环路定理：?B?dl??0?Iint，本题为一圆柱体。

L??当r?R时，?B?dl?B2?r??0?Iint??0?r2LI?R2??0rIR22I

RB??0rI2?rR22??0Ir2?R2r

r??当r?R时，?B?dl?B2?r??0?Iint??0I

LB??0I2?r

??0Ir?2?R2无限长载流圆柱的磁场分布为：B???I?0?2?r?r?R?

?r?R?IR求一段圆柱内环绕中心的磁通量，就是求圆柱内 通过阴影部分的磁通量

根据上一问的结果，在圆柱内：B??0Ir2?R2

dr在小面积元ldr上磁感应强度相同，磁通量为：

??R?Ir?0IlR?0Il0B?dS?ldr?rdr? 2?S?02?R22?R?04?4.47 解：粒子运动受到的洛仑兹力等于向心力

qvB?mvR2lr，可得粒子动量为：mv?qBR

代入数据：mv?1.6?10?19?15?2?4.8?10?18kg?m/s 4.48 解：这是一个细导线闭合回路，设电流方向为顺时针

圆弧在圆心处：BO??2???0I2R??0I4R

R

I

方向垂直纸面向里

?电流元Idl在圆心处受力：

???dF?Idl?B，即：dF?IBdl?dFdl??0I4R2Idl

单位长度导线所受的力：

?0I4R

y4.49 解：设磁场垂直纸面向里

取直径把导线圆环分成任意两个半圆弧 分析右边圆弧的受力情况

???电流元受力：dF?Idl?B??dF?Idl

?Rx各个电流元受力的方向不同，需要进行力的分解 对称性质分析，在y方向上合力为0。

Fx??dFcos???BIdlcos????0BIcos?Rd??BI2R

沿x轴正方向。

同理可分析左边半圆弧的受力，大小相等，方向相反，导线圆环所受合力为0。 所受张力为导线圆环上各点受力

4.52 解：分析过没介质时螺绕环的磁场分布。 现在是有介质的情况，用H的环路定理

???H?dl?L?Iint

本题中，取磁场线为闭合路径，磁场强度为：

HL?NI 代入数据：H?40A/m

??磁感应强度为：B??r?0H，代入数据：B?0.25T

求传导电流产生的磁感应强度，利用稳恒磁场的安培环路定理

?L???5B0?dl??0?Iint，可得：B0??0NI?5.04?10T

???由B?B0?B'，磁化电流产生的磁场为：

???B'?B?B0?0.25T

电磁感应部分

4.54 解：ab运动到与Oc相距x时，磁感应强度

B?kt?kxv

c?Bb切割磁感线，动生电动势为：

?d?x?????v?B??dl?vBl?vkl?kxl lvO?vax方向由b向a。

磁场变化，法拉第感应定律，感生电动势为：

?g??d?dt??BSt???ktSt??kS??kxl

假设与磁场方向满足右手螺旋为正方向，由a向b。 现在结果和假设方向相反，为由b向a。

动生电动势和感生电动势方向相同，叠加：???d??g?2kxl，方向由b向a 4.55 解：利用动生电动势的公式

????v?B??dl

???L??对于ab段，v和B的夹角是90度，

??v?B?的方向与由a到b的方向夹角

?????ab??????????B????????????????????B???v?c?????0????v30???????????为90度，可得?v?B??dl?0，所以ab段上的动生电动势为0。

????v对于bc段，和B的夹角是90度，?v?B?的方向与由b到c的方向夹角为60度，可得

???L????v?B??dl??LvBdlcos?3?vBLcos?3?12vBL

代入数据：??12vBL?0.5?3?2?10?2?0.1?3?10?3V，c端的电势高。

4.56 解：可以把圆盘分为无限多个长为 R的金属杆，圆盘绕中心轴转动，可看 做无限多个金属杆绕中心轴O转动。 根据例4.26，一长为R的金属杆，在垂 直于均匀磁场B的的平面内以角速度ω 绕其一端均匀转动，杆中的电动势为：

??12?B?O?v?BR A端的电势高

2R（1）可以利用动生电动势的公式

??? ????v?B??dl

LA（2）可以利用法拉第电磁感应定律 ???

d?dt 求OA金属杆上的电动势

4.58 解：

根据例题4.21：无限长载流薄圆筒内外的磁场为

0??r?R??B???0I

??r?R??2?r(4-89)磁场能量密度为

wm?WmV1????B?H 2?2B2在本题中磁场能量密度:wm1??I????? 2?2??2?r?B22磁场能量为:Wm??VwmdV??R2R11??I??Il?2?rldr???2??2?r?4?22?R2drrR1??Il4?2InR2R1

(4-88)一个自感为L、载流为I的线圈中所储存的磁能为：

Wm?12LI22

R2R1?12LI2Wm??Il4?In

R2R1自感系数为：L??l2?In

另外的一封答案

问 题

4.1 电场强度的物理意义是单位正电荷量所受的力。如果说某点的电场强度等于在该点放

一个电量为一库仑的电荷所受的力，对么？为什么？

答：这是不对的。电场强度是一个只与电场有关，而与电荷无关的量。

4.2 如何判断负电荷在外电场中的受力方向？在地球表面上通常有一竖直方向的电场，如

果电子在此电场中受到一个向上的力，那么电场强度的方向是朝上还是朝下？ 答：先判断出正电荷的受力方向，然后转180即得负电荷的受力方向。如果电子在此电场中受到一个向上的力，那么电场强度的方向是朝下的。 4.3 点电荷的电场公式为E??q4??0r20?er。从形式上看，当场点与点电荷无限接近时，场强

E??，对么？为什么？

答：所谓点电荷是物理上的理想模型，实际并不存在。只有离带电物体足够远时才能忽略带电物体的形状、大小，将其视为点电荷。当场点与点电荷无限接近时，任意电荷都不能视为点电荷，上述公式不成立。所以说当场点与点电荷无限接近时，场强

E??，是不对的。

4.4 电场线代表点电荷在电场中的运动轨迹吗？为什么？在两个相同的点电荷的连线中

点，电场线是否相交？

答：电场线是为了形象地描述电场而引进的一系列的曲线，不代表点电荷在电场中的运动轨迹。在两个相同的点电荷的连线中点，其电场强度为零，所以电场线不能相交。 4.5 三个相等的点电荷放在等边三角形的三个顶点上，问是否可以以三角形中心为球心作

一个球面，利用高斯定理求出它们所产生的场强？对此球面高斯定理是否成立？ 答：由于此三个点电荷产生的电场不具有球对称性，在以三角形中心为球心所作的高斯面上，各点的场强无论其大小还是与球面面元的夹角都不是常数，因此对上述球面，不能利用高斯定理求出它们所产生的场强。但高斯定理适用于一切静电场，故对此球面高斯定理仍然成立。

4.6 如果高斯面为空间任意闭合曲面，下列说法是否正确？请举一例加以论述。

（1） 如果高斯面上电场强度处处为零，则该面内一定没有电荷； （2） 如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度处处为零； （3） 如果高斯面上电场强度处处不为零，则该面内必有净电荷； （4） 如果高斯面内有净电荷，则高斯面上电场强度处处不为零。

答：（1）如果高斯面上电场强度处处为零，则该面内一定没有电荷。这句话不正确。因为高斯面上电场强度处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和为零。即高斯面一定没有包围净电荷。则面内可以有电荷，只不过电荷的代数和为零。

（2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度处处为零。这句话不正确。高斯面内无电荷，只能说明通过高斯面的电通量为零。即穿出和穿入的电场线的数目一样多。而只要有穿出和穿入的电场线，面上该处的电场强度就不为零。

（3）如果高斯面上电场强度处处不为零，则该面内必有净电荷。这句话不正确。若高斯面外有一点电荷Q，高斯面内无电荷。此时高斯面上电场强度处处不为零，而面内没有静电荷。

（4）如果高斯面内有净电荷，则高斯面上电场强度处处不为零。这句话不正确。若在空间有一电偶极子。以正电荷为中心，以正负电荷的距离的一半为半径做一圆形高斯面。则此高斯面内有净电荷，但正负电荷的连线与高斯面相交的一点电场强度为零。 4.7 关于高斯定理以下说法对么？为什么？1）高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电

荷决定；2）通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定。

答：（1）高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电荷决定的说法不正确。空间任一点的电场强度应该是由空间所有的电荷在该点产生的电场强度的矢量和。而高斯面是

人为选取的，不能改变上述的叠加原理。所以高斯面上各点的电场强度应该是由高斯面内外所有的电荷所决定的。（2）通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定的。这句话是正确的。高斯面外的电荷对电通量的贡献为零，所以通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定。

4.8 以点电荷q为中心作一球形高斯面，讨论在下列几种情况下，穿过高斯面的电通量是

否改变？（1）将q移离高斯面的球心，但仍在高斯面内；（2）在高斯面外附近放置第二个点电荷；（3）在高斯面内放置第二个点电荷。

答：在（1），（2）两种情况下穿过高斯面的电通量不发生改变，均为q/?0。在（3）种情况下穿过高斯面的电通量发生改变，应为两个电荷的代数和除?0。

4.9 在真空中有两个相对放置的平行板，相距为d，板面积均为S，分别带电量+q和-q。则

两板之间的作用力大小为（ C ）

222222（A）q/4??0d； （B）q/?0S； （C） q/2?0S； （D）q/8??0d。

4.10 有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上。在此气球被吹大的过程中，下列说

法正确的是（ B ）

(A) 始终在气球内部的点的场强变小； (B) 始终在气球外部的点的场强不变； (C) 被气球表面掠过的点的场强变大。

4.11 带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线，试问在何种情况下其轨迹

是直线？

4.12 下列说法是否正确？请举一例加以论述。

（1）场强相等的区域，电势也处处相等； （2）场强为零处，电势一定为零； （3）电势为零处，场强一定为零； （4）场强大处，电势一定高。

答：（1）不一定。场强相等的区域为均匀电场区，电场线为平行线，则沿着电场线的方向，是电势降低的方向，而垂直电场线的方向，电势相等。例如无限大均匀带电平板两侧为垂直板的均匀场，但离带电板不同距离的点的电势不相等。

?（2）不正确。E???U，E?0，电势U是常数，但不一定是零。例如均匀带电球

面内的场强为零，若取无穷远为电势零点，其球内电势不为零。

?（3）不一定。E???U，U?0，但U的变化率不一定为零，即场强E不一定是

零。例如势函数U?x2?x，在x?1处电势为零，但此处的场强不为零。

?（4）不一定。E???U场强大处，电势不一定高。例如负点电荷产生的电场，离电

荷越近的点场强的值越大，但电势越低（取无穷远处电势为零）

4.13 是否存在这样的静电场：其电场强度方向处处相同，而其大小在与电场强度垂直的方

向上逐渐增加？

答：平行板电容器的电场强度方向处处相同，而其大小在与电场强度垂直的方向上逐渐增加。

4.14 在技术工作中常把整机机壳作为电势零点。若机壳未接地，能不能说机壳电势为零，

人站在地上就可以任意接触机壳？若机壳接地则如何？

答：若机壳未接地可以说机壳电势为零。但人站在地上不能任意接触机壳。因为机壳与大地之间有电势差。若机壳接地可以把机壳作为电势零点，人站在地上可以任意接触机壳。因为两者之间的电势差为零。

4.15 两个不同电势的等势面是否可以相交？为什么？

答：两个不同的等势面不能相交。因为相交点的场强就会有两个方向，这与任一点的场强只有一个方向相矛盾。故两个不同电势的等势面不可以相交。 4.16 在空间的匀强电场区域内，下列说法正确的是（ C ）

(A) 电势差相等的各等势面距离不等； (B) 电势差相等的各等势面距离不一定相等； (C) 电势差相等的各等势面距离一定相等； (D) 电势差相等的各等势面一定相交。

4.17 面电荷密度为?的无限大均匀带电平面两侧场强为?/2?0，而处于静电平衡的导体表

面（该处表面面电荷密度为?）附近场强为?/?0，为什么两者相差一倍？

答：设导体表面某处面元?S电荷面密度为?，对于导体内外紧靠面元?S的场点，面元?S可被看作无限大均匀带电平面，在它两侧紧靠面元的场点?S上的电荷产生沿着

??/?????n和E1??n。设除面元?S上电荷外其法线n、大小为?/2?0的场强E1?2?02?0

?/?的导体表面的其他电荷在上述场点产生的场强为E2和E2，那它们与面元?S上电荷的

?/?/???/场强迭加结果应是使面元?S内侧（导体内）场强为零。有E1?E2??n?E2?0，

2?0即有E2/????2?0n。而导体表面的其他电荷在面元?S处附近的场强应具有连续性，有

??/??E2?E2。所以紧靠面元?S的导体外场点的场强为E2和E1的迭加。有

???????????E1?E2?n?n?n，比E1?n大了一倍。其原因是导体表面的其他

2?02?0?02?0电荷贡献的结果。

4.18 若一带电导体表面上某点附近电荷面密度为?，这时该点外侧附近场强为?/?0。如

果将另一带电体移近，该点场强是否改变？公式E??/?0是否仍成立？

答：该处场强改变。但场强与该处导体表面的面电荷密度的关系仍具有E??/?0的形式。只不过?将发生变化，因为另一带电体的移近会引起导体表面的电荷分布的变化。 4.19 把一个带电体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内产生的电场是否为零？静电

屏蔽效应是怎样体现的？

答：把一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内产生的电场并不为零。在把带电物体移近导体壳的过程中，导体空腔的外表面将出现感应电荷，感应电荷产生的电场与带电体在导体空腔内产生的电场大小相等、方向相反、相互抵消。不管导体壳外带电体的位置发生何种变化，因导体空腔的外表面感应电荷分布都会跟着变化，其结果是在导体壳空腔内两者的场强迭加始终保持为零。导体壳起到屏蔽外部电荷在腔内的电场作用。同样，导体壳也会起到屏蔽腔内电荷在导体壳外面的电场作用。 4.20 把一个带正电的导体A移近另一个接地导体B，导体B是否维持零电势？B上是否带

电？导体A的电势会如何变化？如果A带正电情况又如何？

答：把一个带正电的导体A移近另一个接地导体B，导体B维持零电势。B上带有感应的电荷。导体A的电势会越来越大。

4.21 内外半径分别为R1和R2的同心金属薄球壳。如果外球壳带电量为Q，内球壳接地，则

内球壳上带电量为（ C ）

(A) 0； (B) ?Q； (C) ?4.22 电动势与电势差有何区别与联系？

R1R2Q； (D)

R1R2?2R1Q。

答：电动势表示将单位正电荷经电源内部从负极移到正极过程中非静电力对其做的功，表征的是电源中非静电力做功的本领，是表征电源本身特征的量。

电势差为恒定电场中两点之间的电势之差，表征的是单位正电荷在这两点间移动是恒定电场力对其所做的功，反映的是恒定电场力对其做功的本领。

4.23 两块平行的金属板相距为d，用一电源充电，两极板间的电势差为?U。将电源断开，

在两板间平行地插入一块厚度为l?l?d?的金属板，且与极板不接触，忽略边缘效应，两金属板间的电势差改变多少？插入的金属板的位置对结果有无影响？ 答：查入金属板后两金属板间的电势差为没有查入金属板的电势差的金属板的位置对结果没有影响。

4.24 一带电为Q的导体球壳中心放一点电荷q，若此球壳电势为U0，有人说：“根据电势

叠加，任一距中心为r 的P点的电势为

q4??0rd?ld倍。查入的

，这说法对吗？如果不对，那么?U0 ”

各区域的电势是多少？

答：这种说法不对。取无限远处为电势零点，则球壳外任一点的电势为U0，球壳内距中心为r 的P点的电势为

q4??0r?q4??0R?U0。

4.25 电介质的极化和导体的静电感应微观过程有什么不同？

答：处于外电场中的电介质表面出现束缚电荷的现象，叫电介质的极化。电介质的极化是由于分子的电偶极子在外电场的作用下转向或相对位移而形成的。导体的静电感应微观过程是在外电场与导体的共同作用下导体所带的电荷分布不随时间改变且导体内的电场处处为零。而电介质极化时，内部始终存在两种电场，即外电场与极化束缚电荷产生的电场。电介质内部任一点的电场都是这两种电场迭加而成。

4.26 给平行板电容器充电后，在不拆除电源的条件下，给电容器充满介电常数为ε的各向

同性均匀电介质，则极板上的电量变为原来未充电介质时的几倍？电场强度为原来的几倍？若充电后拆除电源，然后充入电介质，情况如何？

答：给平行板电容器充电后，在不拆除电源的条件下，给电容器充满介电常数为ε的各向同性均匀电介质，则充入电介质前后，电容器的两个极板上的电势差保持不变。所以极板上的电量变为原来未充电介质时的?r倍，电场强度不变。

若充电后拆除电源，然后充入电介质，则极板上的电量不变，电场强度变为原来的

1?r倍。

4.27 真空中两个静电场单独存在时，它们的电场能量密度相等，现将它们叠加在一起，若

使它们的电场强度相互垂直或方向相反，则合电场的电场能量密度分别为多少？ 答：

4.28 宇宙射线是高速带电粒子流（基本上是质子），它们交叉来往于星际空间并从各个方向

撞击着地球。为什么宇宙射线穿入地球磁场时，接近两磁极比其它任何地方都容易？ 答：因为地球磁场不均匀，除两极外的其他地方磁感应强度沿平行于地面的分量较强，而在两磁极附近磁感应强度近似与地面垂直，当宇宙射线从两极接近地球时，粒子流的速度方向与磁场方向接近平行，所受的洛伦兹力很小，速度方向几乎不变，因此粒子可从两极直射地球表面。

4.29 考虑一个闭合的面，它包围磁铁棒的一个磁极。通过该闭合面的磁通量是多少？

答：因为磁感应线总是闭合线，通过该闭合面的磁通量为零。 4.30 磁场是不是保守场？为什么？

答：磁场不是保守场。因根据磁场的安培环路定理，磁感应强度沿任一闭合曲线的环流等于闭合曲线所围面积的电流的代数和的?0倍。所以磁感应强度沿任一闭合曲线的环流一般不为零。所以磁场力为非保守力。磁场为非保守场。

4.31 在无电流的空间区域内，如果磁力线是平行直线，那么磁场一定是均匀场。为什么？

若存在电流，上述结论是否还对？

答：在无电流的空间区域内，如果磁力线是平行直线，那么磁场一定是均匀场。作如图所示的矩形环路abcd，因为磁力线是平行直线，磁场沿直线一定具有平移对称性，ab段上各点的磁感应强度应相等，同样cd段上各点的磁感应强度也应相等。由于该区

??间无电流，由安培环路定理有，?B?dl?Bab?ab?Bcd?cd?0，既有Bab?Bcd。由

abcd于ab和cd的长度是任意选取的，所以垂直平行直线方向各处磁感应强度大小相等，由以上结论可以得出空间各处磁感应强度大小都相等的结论。

若空间存在电流，上述结论不对。

4.32 库仑电场公式与毕奥-萨伐尔定律表达式有何类似与不同之处？

答：

?4.33 电流元Idl在磁场中某处沿直角坐标系的x轴方向放置时不受力，把这电流元转到y轴正方向时受到的力沿z轴负方向，此处的磁感应强度B方向如何？ 答：磁感应强度B方向沿x轴正方向。

4.34 试用毕奥-萨伐尔定律说明：一对镜像对称的电流元在其对称面上产生的合磁场方向如

何？

答：由毕奥-萨伐尔定律可知，一对镜像对称的电流元在其对称面上产生的合磁场方向是相反的。

4.35 截面是任意形状的长直密绕螺线管，管内磁场是否是均匀场？其磁感应强度是否仍可

按照B??0nI计算？

答：管内磁场是均匀场，其磁感应强度仍按B??0nI计算。虽然截面是任意形状，但对于长直密绕螺线管，它的电流分布对称性确定管内磁场一定是沿着管长方向且同一磁力线上的磁感应强度相同。类似于截面为圆形的长直螺线管，可作一矩形回路，使其一边在管内且沿管内磁力线，利用安培环路定理可以证得管内是均匀场，且大小为

B??0nI。

??4.36 无限长螺线管外部磁场处处为零。这个结论成立的近似条件是什么？仅仅说“密绕螺

线管”条件够不够？

4.37 能否利用磁场对带电粒子的作用力来增大粒子的动能？

???答：静磁场不能。因为静磁场对带电粒子的洛仑兹力f?qv?B不做功，一直是和速

度垂直，它只改变速度的方向，不改变速度的大小。而变化的磁场可以，变化的磁场产生电场，电场可对带电粒子做功以增大粒子动能。

4.38 赤道处的地磁场沿水平面并指向北。假设大气电场指向地面，因而电场和磁场互相垂

直。我们必须沿什么方向发射电子，使它的运动不发生偏斜？

答：欲使电子的运动不偏斜，要求它所受的落仑兹力与电场力大小相等方向相反。由于大气电场指向地面，电子所受的电场力背离地面，因此要求洛仑兹力指向地面，即

向东发射电子。

??4.39 相互垂直的电场E和磁场B可做成一个带电粒子的速度选择器，它能使选定速度的带

电粒子垂直于电场和磁场射入后无偏转地前进。试叙述其中的基本原理。

答：要想垂直于电场和磁场射入后的带电粒子无偏转地前进，电场力和磁场力必须大

????小相等方向相反。所以，这带电粒子的速度v一定满足qE??qv?B。带电粒子的速

?度方向一定是在垂直于E的平面内，其大小由vBsin??E确定，v??与B的夹角。（0????）

EBsin??为v，

?4.40 在电子仪器中，为了减弱与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把他们扭在一起。

为什么？

答：两条导线中流有相反方向的电流，离开电源处的场是它们各自场的迭加。扭在一起之后，它们靠得很近，在稍远处它们所产生的磁场就接近相等，并且方向相反，可以互相抵消，从而使它们的合场减小到最小，可以避免对其他元件造成的影响。 4.41 一个弯曲的载流导线在匀强磁场中应如何放置才不受磁场力的作用？

???答：由安培力的公式，dF?Idl?B。可知，要使一个弯曲的载流导线在匀强磁场中

不受磁场力只须使电流的方向与磁场的方向平行即可。 4.42 两种磁介质的磁化与两种电介质的极化有何类似与不同之处？

答：在外磁场的作用下，顺磁质的分子磁矩要转向外磁场方向，产生了磁化。而抗磁质的分子没有固有磁矩，在外场的作用下产生一附加磁矩，产生了磁化。不管是顺磁质还是抗磁质，磁化后都将在磁介质的表面上出现束缚电流。这一点与电介质的极化是类似的。不管是有机分子电介质的取向极化还是无机分子电介质的位移极化都是在电介质的表面出现了束缚电荷。

顺磁质与抗磁质磁化后磁性较弱，且外磁场撤消后磁性会随之消失。虽然两种电介质撤消外电场后极化电荷也将随之消失。但对于两种电介质来说，外电场越强，极化电荷就越多，介质被极化的程度就越高。

4.43 将磁介质样品装入试管中，用弹簧吊起来挂到一竖直螺线管的上端开口处，如图4-88

所示。当螺线管通电流后，则可发现随样品的不同，它可能受到该处不均匀磁场向上或向下的磁力。这是一种区分样品是顺磁质还是抗磁质的精细的实验。试述其基本原理。

答：如果是顺磁质，在外磁场中会产生与外磁场方向一致的磁化场，如果是抗磁质，在外磁场中会产生与外磁场相反方向的磁化场。根据题意，图示样品受到向上的磁力，可以判断出该样品为抗磁质。

4.44 一导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列各种情况下哪些

会产生感应电流？为什么？

(1) 线圈沿磁场方向平移； (2) 线圈沿垂直磁场方向平移；

(3) 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行； (4) 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。

图4-88 问题4.43用

答：一导体圆线圈在均匀磁场中运动，若圆线圈中有磁通量的 变化，线圈中就有感应电动势，就有感应电流。

（1） 当线圈沿磁场方向平移时，线圈中的磁通量不变，故线圈中无感应电流。 （2） 当线圈沿垂直磁场方向平移时，线圈中的磁通量不变，故线圈中无感应电流。 （3） 当线圈以自身的直径为轴转动时，轴与磁场方向平行，线圈中的磁通量为零，

故无感应电流。

（4） 当线圈以自身的直径为轴转动时，轴与磁场方向垂直，此时线圈平面与磁场之

间有一定的夹角，随着夹角的变化线圈中的磁通量也随之变化。故在线圈中会产生感生交变电流。

4.45 感应电动势的大小由什么因素决定？如图4-89所示，一个矩形线圈在均匀磁场中以匀

角速?旋转，试比较当它转到图示两个位置时感应电动势的大小，并判断感应电动势

的方

～ 高频电磁炉

图4-89 问题4.45用图

图4-90 问题4.46用图

向？ 答：感应电

动势的大小是由线圈中的磁通量随时间的变化率所决定的。线圈中的磁通量为

??BScos?t，感应电动势为??BS?sin?t，???t是线圈平面和磁场之间的夹角。在左图中，???2，故电动势有最大值??BS?；右图中，??0，故??0。

左图中感应电动势的方向是沿线圈逆时针方向。

4.46 熔化金属的一种方法是用“高频炉”。它的主要部件是一个铜制线圈，线圈中有一坩埚，

埚中放待熔的金属块。如图4-90所示。当线圈中通以高频交流电时，埚中金属就可以被熔化。这是什么缘故？

答：当坩埚外缘绕有的线圈中通以高频交流电时，使锅中待熔的金属块处于高频交变磁场中，在金属块内部形成自闭合的很强的感应涡电流，这种涡电流在金属块内部的热效应使金属块自身熔化。

4.47 将尺寸完全相同的铜环和铝环适当放置，使通过两环内的磁通量的变化率相等。这两

个环中的感应电流及感生电场是否相等？为什么？

答：通过尺寸完全相同的铜环和铝环的磁通量的变化率相等，即两环的感应电动势相同。但由于两环的电阻不同，则感应电流不相同。在同样环路中激发的感生电场相同。????B?因为???E?dl???l??l?t?ds，同样的环路，同样的磁场变化率，环路中的感生电场

相同。

4.48 一块金属在均匀磁场中平移，金属中是否会有涡

流？若在均匀磁场中旋转，情况如何？

答：一块金属在均匀磁场中平移，只会使金属两端之间出现一电势差，不会出现涡流。一块金属在均匀磁场中旋转，将使金属表面与转动的轴线之间出现一电势差，也不会出现涡流。

4.49 如图4-91所示，均匀磁场被限制在半径为R的无限长圆柱内，磁场随时间作线性变化，

现有两个闭合曲线L1（为一圆周）与L2（为一扇形）。问：(1) L1与L2上每一点的

?dBdt× R × × × × × × × L 1 × × × 图4-91 问题4.49用图

L2 O ?????是否为零？感生电场E感是否为零？?若L1与?E感?dl与??E感?dl是否为零？ (2）

L1L2L2为均匀导体回路，则回路中有无感应电流？

答：

4.50 动生电动势和感生电动势有何类似与不同之处？

答：当导体回路整体或局部运动，而外磁场不变时，导体中的自由电子受磁场的洛仑???兹力作用，F?ev?B，它可以被看作是一种等效“非静电场”的作用，在导体上产

生的电动势称为动生电动势。

当导体回路静止，外磁场变化时，穿过它的磁通量发生变化，回路内产生的电动势称为感生电动势。

一般情况下，导体回路中既有动生电动势也有感生电动势。

不管动生电动势还是感生电动势都会引起回路所围面积的磁通量的变化。动生电动势的根源是切割磁力线，感生电动势的根源是磁场的变化。

4.51 一个线圈自感系数的大小由哪些因素决定？怎样绕制一个自感为零的线圈？

答：一个线圈的自感系数的大小为L??n2V，由线圈的匝数，体积以及相对磁导率来决定。将一条导线折成平行的两条绕在较薄的绝缘板上。这时各段导线上电流产生的磁场相互抵消，自感为零。

4.52 一段直导线在均匀磁场中作如图4-92所示的四种运动。在哪种情况下导线中有感应电

× × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × × 动势？为什么

？感应电动势的方向是怎样的？

答：（a）、（c）中有感应电动势，电动势的方向均由下指向上。（b）（d）中没有感应电动势。由动生电动势的公式??× × × × × × × × × × × × × × × × (a) (b) (c) (d) 图4-92 问题4.52用图

?l???(v?B)?dl可以判断出（a）、（c）中有电动势。同

????理，可判断出（b）中v?B的方向与dl的方向垂直，故（b）中无电动势。（d）中v与

?B方向在一条直线上，故（d）中无电动势。

4.53 什么叫位移电流？什么叫传导电流？试比较两者的不同之处？

答：位移电流是电位移通量的变化率，即Id?ddt?s??D?dS。传导电流是电荷运动形成

的电流。位移电流实质上是变化的电场，并不是电荷的运动。（在电介质内部，位移电流中确有一部分是束缚电荷的定向运动）。除了在产生磁场方面与传导电流等效外，与传导电流无其他共同之处。 4.54 下面的说法中正确的是（ Ｃ）

(A) H仅与传导电流有关；

(B) 不论抗磁质或顺磁质，B总与H同向；

?(C) 通过以闭合曲线L为边线的任意曲面的B通量均相等； ?(D) 通过以闭合曲线L为边线的任意曲面的H通量均相等。

???4.55 什么是玻印亭矢量？它与电场和磁场有什么关系？

?1??答：电磁波的能流密度矢量叫玻印亭矢量，它和电场与磁场的关系是S?E?B。

?04.56 给平行板电容器充电时，玻印亭矢量指向电容器内部，为什么？如果给电容器放电，

情况又如何？

????答：电磁场的能流密度矢量――玻印亭矢量S?E?H，S的方向代表能量的传播方

向，大小等于单位时间内流过与能量传播方向垂直的单位横截面的能量。所以给平行板电容器充电时，玻印亭矢量指向电容器内部，放电时指向电容器外边。 4.57 电磁波的能量中电能和磁能各占多少？

答：

4.58 麦克斯韦方程组中各方程的物理意义是什么？

答：??S??D?ds??V?dV是电场的高斯定理。说明总的电场和电荷的关系。

??s??B?dS?0是磁场的高斯定理。磁场是无源场，说明目前自然界中没有单一的“磁

荷”存在。

????B??lE?dl???s?t?ds是法拉第电磁感应定律。说明总的电场和磁场的关系，包含变?化的磁场激发电场的规律。

??l??H?dl??s(j???D?t?)?ds是一般形式下的安培环路定理。说明磁场和电流以及变化

电场的联系，包含变化的电场激发磁场的规律。

4.59 真空中静电场的高斯定理和电磁场的高斯定理具有完全相同的形式，试问在理解上两

者有何区别？

答：静电场的高斯定理??

S??D?ds??V?dV，说明了静电场是有源场，指出了电荷与电

场的关系。一般电磁场中包括静电场与感生电场，感生电场是无源场，??所以对于电磁场的高斯定理就和静电场的高斯定理具有相同的形式。

S??D?ds?0，

??4.60 对于真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都满足??B?dS?0，在理解上有何不同？

答：对于真空中稳恒电流的磁场的高斯定理为??B?dS?0。说明稳恒电流的磁场是无源场。一般电磁场包括稳恒电流的磁场和变化电场空间中的磁场。变化电场的磁场也

??是无源场。所以一般电磁场也满足??B?dS?0。

??习 题

4.1 两个相距1m的静止点电荷，带电量均为1库仑，求它们之间相互作用力的大小。 解：由库伦定律可得，两电荷之间相互作用力的大小为 F?q1q24??0r2?1?14?3.14?8.85?10?12?12?9.0?10N

94.2 两个固定的点电荷，相距为l，带电量分别为q和4q。试问在何处放一个何种电荷可

以使这三个电荷达到平衡？

解：三个电荷平衡时，每个电荷都受到两个大小相等方向相反的力。由已知条件得，应该在两固定点电荷连线之间放一个带负电的电荷，设其电量为-q′，与q的距离为r（0

- q′受力平衡，由库伦定律有

qq?4??0r2?4qq?4??0(l?r)2 结合0?r?l可得r?13l。

q受力平衡，由库伦定律有

qq?4??0r2?4q224??0l 可得q??49q。

1故要使这三个电荷达到平衡应该在两固定电荷连线之间距带电量为q的电荷l处放一

3带电量为?49q的电荷。

4.3 两个相距为2l的点电荷带电量均为q，试求在它们连线

y 的中垂面上离连线的中点距离为r处的电场强度。如果

r??l，结果如何？

E2 P E1 θ x 解：P点到两个带电量均为q的点电荷的距离都是r?l22，

r q θ l θ l q

所以两个点电荷在P点产生的场强大小相等，即

E1?E2?14??20qr?l2

?????但方向不同。场点P的场强E?E1?E2，其两个分量Ex和Ey分别等于E1和E2在x，y

方向投影的代数和，根据对称性可以看出：Ex?0,Ey?2E1sin?。故P点场强大小为 E?|Ey|?2E1sin??24??20qr?l22rr?l2?qr2??0(r?l)223/2

方向沿y轴正方向。

如果r??l，可忽略l的高次项，有

E?qr2??0(r?l)223/2?q2??0r2

4.4 半径为R的半圆环均匀带电，线电荷密度为?，求其环心处的电场强度？ 解：建立如图所示的坐标系，在半圆环上取一小段圆弧，其长度为Rdθ，则其带电量为

dq??Rd?

y dq 此段圆弧在环心O点产生的电场强度为

dE?dq4??0R2??d?4??0R

dEx dE θ O dEy x ?由半圆环的对称性可知O点的电场强度E沿y

轴负方向，所以有

dE?dEsin???4??0Rysin?d?

故环心处的电场强度大小

E?Ey??dEy????4??0R0sin?d???2??0R

4.5 两个点电荷相距为d，带电量分别为q1和q2。求在下列两种情况下两点电荷连线上电

场强度为零的一点的位置：1)两电荷同号；2）两电荷异号。

解：（1）两电荷同号时，在其连线外侧电场强度方向相同，内侧电场强度方向相反。故电场强度为零的点在两电荷连线内侧，设该点与q1距离为r1(r1?0)，由场强叠加原理有

q14??r201?q24??0(d?r1)2?0 可得r1?q1dq1?q2

（2）两电荷异号时，在其连线内侧电场强度方向相同，外侧电场强度方向相反。故电场强度为零的点在两电荷连线外侧，如果该点在q1外侧，设与q1距离为r2(r2?0)，由场强叠加原理有

q14??r202?q24??0(d?r2)2?0 可得r2?q1dq2?q1

如果该点在q2外侧，同上可得电场强度为零的点与q2的距离r2??q2dq1?q2

讨论：若q1?q2，则r2和r2?的分母均为零，不存在电场强度为零的点； 若q1?q2，则r1?0，r2??0，故电场强度为零的点在q2外侧

q2dq1?q1dq2?q1q2处；

若q1?q2，则r1?0，r2??0，故电场强度为零的点在q1外侧

处。

4.6 电荷Q均匀地分布在长为2l的一段直线上。试求在直线的延长线上距线的中点

r?r?l?处的电场强度。

解：建立如图所示的坐标系。在带电直线上取电荷元dq??dx?产生的电场强度大小为

dE?dq4??0x2Q2l2l x dx r-l O dx，它在O点

??dx4??0x2

因为任一电荷元在O点产生的电场强度的方向相同，所以整个带电直线在O点产生的

电强度大小为

E??dE??r?l?dx4??0x2r?l?Q4??0(r?l)22

故

E???Q4??0(r?l)22?i

4.7 一无穷长均匀带电线弯成如图4-93所示的形状。求圆心O处的电场强度。 解：参考习题4.4可得，半圆环在圆心O处的电场强度大小dE O

?O 图4-93 习题4.7用图 dEx R θ O′

x dx

为

?2??0R（R为半圆环的半径），方向水平向右。下面我们来计算剩下部分在O点产生的

场强，建立如图所示的坐标系，在带电直线上取电荷元dq??dx，它在O点产生的电场轻度大小为

dE?dq4??0r2??dx4??0(x?R)22

?由带电线的对称性可知O点的电场强度E沿x轴负方向，所以有

dEx?dEcos???dx4??0(x?R)222xx?R2??xdx4??0(x?R)223/2

所以剩下部分在O点产生的场强大小

E?Ex??dEx????xdx4??0(x?R)223/20??2??0R

方向水平向左。与半圆环在圆心O处的电场强度大小相等方向相反，故整个带电线在圆心O处的电场强度为0。

??4.8 在场强为E的均匀静电场中，取一半径为R的半球面，E的方向和半球面的轴平行，

如图4-94所示，试求通过该半球面S1的电通量。若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S2，则通过S2面的电通量又是多少？

R 解：由S1和以R为半径的大圆面S0组成一个封闭曲面S，由高斯定理知：

??E?dS??SO S1 S2 ?E?q?0i?0

图4-94 习题4.8用图

而

?S??E?dS??S0??E?dS??S1??E?dS?0

所以通过S1的电通量

?S1??S1????2E?dS???E?dS?ES??RE

S0同理，由S2和以R为半径的大圆面S0组成一个封闭曲面S?，则可得通过S2的电通量

?S2??S2????2E?dS???E?dS?ES??RE

S04.9 两个同心均匀带电球面，半径分别为R1和R2?R1?R2?，带电量分别为?q和?q。试

分别用场强叠加原理和高斯定理求其电场分布。 解：（1）场强叠加原理

两个带电球面在空间的电场分布分别为

q??q?(r?R2)(r?R)??1E1??4??0r2 和 E2??4??0r2

?0?0(r?R1)(r?R2)??由场强叠加原理可知，空间任一点场强为两个带电球面单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。所以空间的电场为

q?(R1?r?R2)?E??4??0r2

?0(r?R1或r?R2)?（2）高斯定理

由题意可知，两个同心均匀带电球面的电荷分布具有以自身

球心为中心的球对称性，它产生的电场一定是以球心为中心的球对称性电场。因此，取通过空间任一点P并与带电球面同心的、半径为r的球面为高斯面。

当P点在R1内时，r?R1，高斯面内没有电荷；当P点在两球面之间时，R1?r?R2，高斯面内电荷为?q；当P点

在两球面R2外时，r?R2，高斯面内电荷为?q?(?q)?0。根据静电场的高斯定理，有

?q(R1?r?R2)?2?e?4?rE???0

?0(r?R或r?R)12?P r R1 R2 由此可得所求的场强分布为

q?(R1?r?R2)?E??4??0r2

?0(r?R1或r?R2)?4.10 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，求其电场分布；若在该球内挖去一部分电荷，

挖去的体积是一个小球体，试证明挖去电荷后空腔内的电场是均匀场。

解：设挖去球体半径为r，空腔内场强可视为半径为R、电荷

体密度为??的带电球体，与半径为r、电荷体密度为??的带电球体所产生的电场的叠加，其中??Q4?R/33P o1 o2 。在空腔内

任取一点P，由高斯定理可得，半径为R的带电球体在P点的产生场强大小为

4E1?34???O1P?03O1P2?QO1P4??0R3

方向沿O1P方向，所以

?E1?Q4??0R3O1P

半径为r的带电球体在P点的产生场强大小为

4E2?34???O2P?03O2P2?QO2P4??0R3

方向沿PO2方向，所以

?E2?则P点场强为

Q4??0R3PO2

???E?E1?E2?Q4??0R3(O1P?PO2)?Q4??0R3O1O2

由题意可知O1O2为常矢量，且P为空腔内任一点，所以空腔内的电场是均匀场。 4.11 内外半径分别为R1和R2?R1?R2?的球壳均匀带电，体电荷密度为?，求其电场分布。 解：由题意可知，均匀带电球壳的电荷分布具有以自身球心为中心的

P球对称性，它产生的电场一定是以球心为中心的球对称性电场。因此， 取通过空间任一点P并与带电球面同心的、半径为r的球面为高斯面。 当P点在R1内时，r?R1，高斯面内没有电荷；当P点在两球面之间时，R1?r?R2，高斯面内电荷为?(r?R1)?；当P点在两球面R2外时，r?R2，高斯面内电荷为?(R2?R1)?。根据静电场的高

3斯定理，有

0(r?R1)????4233?4?rE???(r?R1)?(R1?r?R2)

?3?04?33?(R2?R1)?(r?R2)?3?0?3433r R1 R2 433?e

由此可得所求的场强分布为

?0(r?R1)??33??(r?R1)?E??r(R1?r?R2) 3?3?0r33??(R2?R1)?r(r?R2)?33?0r?4.12 半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为?，求其电场分布。

解：根据电场的轴对称分布，作一与圆柱体同轴的半径为r，长为l的闭合圆柱面为高斯面。

由高斯定理有

当r?R时

?e??12??E?dS?E?2?r?l??rl?

S?0E??2?0r

当r?R时

?e??S??12E?dS?E?2?r?l??Rl?

?0E??R22?0r

??若??0，E的方向沿径向向外；若??0，E的方向沿径向指向轴线。

4.13 两个半径分别为R1和R2?R1?R2?的无限长同轴圆柱面，带有等值异号电荷，电荷线

密度为??和??，求其电场分布。

解：根据电荷的轴对称分布可知电场应是轴对称分布的，以圆柱面轴线为轴，作一半径为r，高为l的闭合圆柱面为高斯面。由高斯定理有 （1）r?R1区域

?e????E?dS?E?2?r?l?0

S E?0 （2）R1?r?R2区域

?e??1??E?dS?E?2?r?l?l?

S?0

E??2??0r

（3）r?R2区域

?e???1E?dS?E?2?r?l?(??(??))l?0 ?S?0E?0

4.14 两个无限大的平行平面都均匀带电，在下列两种情况下求其电场分布：(1)电荷面密度

均为?；(2）电荷面密度分别为?和??。 解：取电荷面密度为?的平面为研究对象，由该平面电荷

分布的对称性可知该平面单独在空间产生的电场具有面对称性，即平面两侧对称点处的场强大小相等；沿带电平面具有平移对称性，与带电平面平行平面上场强应相等。因此，取一个轴垂直于带电平面的圆柱面为高斯面，且被带电平面E 平分，如图所示。设圆柱面的两个底面面积为?S，由于其侧面电通量为零，所以通过整个高斯面的电通量为

?????e??E?dS?2?E?dS?2?E?dS?2E?dS?2E?SS?S?S?S? E ?S

圆柱面在带电面上截取的面积也为?S，因此圆柱面内包围的电量为??S。根据高斯定理，有

?e?2E?S???0?S

得

E??2?0

如果电荷面密度大于零，场强方向应与带电平面垂直并指向两侧；如果电荷面密度小于零，场强方向应与带电平面垂直并指向平面。根据场强叠加原理可得

（1）电荷面密度均为?时，在两平面内侧，两平面各自产生的场强大小相等，方向相反，和场强E?0；在两平面外侧，两平面各自产生的场强大小相等，方向相同，和场强E???0，

方向与带电平面垂直并指向两侧。

（2）电荷面密度分别为?和??时，在两平面外侧，两平面各自产生的场强大小相等，方向相反，和场强E?0；在两平面内侧，两平面各自产生的场强大小相等，方向相同，和场强E???0，方向与带电平面垂直并由带电量为?的平面指向带电量为??的平面。

4.15 把单位正电荷从电偶极子轴线的中点沿任意路径移到无限远处，求静电力对它所作的

功。

解：设电偶极子两电荷电量分别为?q和?q，距离为l。选取无穷远处为系统的电势零点，则两电荷在电偶极子轴线的中点的电势分别为

U??q4??0l/2?q2??0l，U???q4??0l/2??q2??0l

由电势叠加原理，电偶极子在其轴线的中点的电势为

U?U??U??0

故把单位正电荷从电偶极子轴线的中点沿任意路径移到无限远处，求静电力对它所作的功为

A?1?U?0

4.16 如图4-95所示，AB长为2l，OCD是以B为圆心，l为半径的半圆。A点有正电荷

?q，B点有负电荷?q，试求：1）把单

C 位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？2）把单位负电荷从

D点沿AB的延长线移到无穷远，电场力

+q -q A O B D

2l 图4-95 习题4.16用图

对它作了多少功？

解：选取无穷远处为系统的电势零点，由电势叠加原理，O点电势

UO?UO??UO??D点电势

q4??0l??q4??0l?0

UD?UD??UD??q4??0?3l??q4??0l??q6??0l

把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作功

AOD?UO?UD?q6??0l

把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远，电场力对它作功

?q6??0lq6??0lAD???(UD?U?)?U??UD?0??

4.17 电荷Q均匀地分布在半径为R的球冠面上，球冠边缘对球心的张角为2?，求球心处

的电势。

解：在球冠面上取一面元，带电量为dq，此面元可看作一点电荷，它在球心处的电势

dU?dq4??0R

由电势叠加原理，球冠面在球心出的电势为

U??dU??4??dq0R?14??0R?dq?Q4??0R

4.18 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，求其电势分布。

解：根据电荷的球对称分布可知电场应是球对称分布的，取与球体同心、半径为r的球面为高斯面，由高斯定理有 （1）r?R区域

?e??S??12E?dS?E?4?r?Q343?04?R3?r?3Qr33?0R

E?Qr4??0R3

（2）r?R区域

?e??Q2??E?dS?E?4?r?

S?0E?Q4??0r2

设无穷远处为电势零点，球体外任一点P的电势为

U???P??E?dl???rEdr???Q4??0r2rdr?Q4??0r

球体内任一点P的电势为

U???P??E?dl??RrEdr??Edr??R?RQr4??0RQ3rdr??rR22?Q4??0r2Rdr

?Q8??0R?Qr238??0R?Q4??0R?8??0R(3?)

4.19 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R1和R2?R1?R2?。设其带电量分别为q1和q2，

求两球面的电势及二者之间的电势差。

解：由高斯定理可求出一个半径为R的均匀带电球面内外的场强为

?Q(r?R)? E??4??0r2?0(r?R)?球面外场强方向沿径矢方向。设无限远处为电势零点，根据电势的定义，球面外任一点P的电势为

U???P??E?dl???rEdr???rQ4??0r2dr?Q4??0r

球面内任一点P的电势为

U???P??E?dl??RrEdr???REdr?0???RQ4??0r2dr?Q4??0R

概括起来，均匀带电球面内外的电势分布可写成

?Q?4??r?0U(r)???Q??4??0R?r?R?

?r?R?由电势叠加原理可得，两个均匀带电的同心球面上的电势分别为

U1?q14??0R1?q24??0R2，U2?q14??0R2?q24??0R2

两球面之间的电势差为

U12?U1?U2?q14??0R1?q14??0R2?q14??0(1R1?1R2)

4.20 如图4-96所示，三块互相平行的均匀带电大平面，面电荷

密度分别为?1?1.2?10?4C/m2、?2?2.0?10?5C/m2、

?3?1.1?10C/m。A点与平面II相距为5.0cm，B点

?42σ1 σ2 σ3

A B

与平面II相距7.0cm。求A、B两点的电势差。

解：设水平向右方向为电场正方向，则在平面I和平面II之间，平面I产生的场强为?12?0，平面II产生的场强为??22?0，平面III产生的场强为??32?0，所以平面I和平面II之间场强为

E?I II III

图4-96 习题4.20用图

?12?0??22?0??32?0??5?10?6?0

在平面II和平面III之间，平面I产生的场强为?12?0，平面II产生的场强为?22?0，平面III产生的场强为??32?0，所以平面II和平面III之间场强为

E???12?0??22?0??32?0?1.5?10?5?0

由电势差的定义可知

UAB?UA?UB??6?12?BA??E?dl??2?IIAEdl??5?BIIE?dl?E?dl?E??dlAII?2IIB??5?108.85?10?5?10?1.5?108.85?10

?12?7?10?9.0?10(V)44.21 在距一个原来不带电的导体球的中心r处放置一电量为q的点电荷。求导体球的电

势？

解：点电荷在导体球的中心产生的电势

U1?q4??0r

导体球原来不带电，放置电量为q的点电荷后，会在导体球的表面产生感应电荷，但感应电量的代数和仍然为零。在导体球表面上任取一电荷元dq，它在导体球中心产生的电势为

dq4??0r，由电势叠加原理有，导体表面所有电荷在导体球中心产生的电势

U2??4??dq0r??dq4??0r?0

由于导体球是等势体，故其电势等于球心的电势

U?U1?U2?q4??0r

4.22 两个半径分别为R1和R2?R1?R2?的无限长同轴圆筒，电荷线密度分别为??和??，

求两筒的电势差。

解：根据电荷的轴对称分布可知电场应是轴对称分布的，以直圆筒轴线为轴，作一半径为r，高为l的闭合圆柱面为高斯面。在R1?r?R2区域，由高斯定理有

??1E?dS?E?2?r?l?l? ?S?e??0E??2??0r

则两筒的电势差

U?UR1?UR2??R2R1??R2R2E?dl??Edr??R1R1?2??0rdr??2??0lnR2R1

4.23 在半径为R的导体球外离球心r处放置一电量为q的点电荷，测得此时导体球的电势

为零，求导体球上的带电量。

解：设导体球上的带电量为Q，由于导体球是等势体，所以其球心电势也为零。由电势叠加原理有

q4??0r?Q4??0R?0

可得导体球上的带电量

Q??Rrq

4.24 如图4-97所示，带电量为?Q的导体球A的外面，

+Q 套有一个同心的不带电的导体球壳B，求球壳外距球心r处的P点的电场强度？如果将球壳B接地，P点的电场强度又是多少？

解：根据电荷的球对称分布可知电场应是球对称分布的，取与球体同心、通过P点半径为r的球面为高斯面，由高斯定理有

B A O r P

图4-97 习题4.24用图

（1）球壳B不接地时，B内表面感应电量为?Q，B外表面感应电量为?Q

??Q?Q?QQ2??E?dS?E?4?r??

S?e?0?0E?Q4??0r2

P点场强沿OP方向

（2）球壳B接地时，B内表面感应电量为?Q，B外表面不带电

??Q?Q2??E?dS?E?4?r??0

S?e?0E?0

4.25 对于两无限大平行平面带电导体板，证明：相向的两面上，σ

电荷面密度总是大小相等而符号相反；相背的两面上，电

1

σ2

σ

3

σ

4

A

B

荷面密度总是大小相等而符号相同。

证明：如图所示，设两导体板各面上电荷面密度分别为?1，?2，?3，?4。两导体板内部各点场强均为零，由场强叠加原理有

EA??12?0??22?0??32?0??42?0?0

EB??12?0??22?0??32?0??42?0?0

联立以上两式，可得

?1??4，?2???3

即相向的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相反；相背的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相同，命题得证。

4.26 用两面夹有铝箔的聚乙烯膜做一电容为2.5?F的电容器。已知膜厚3.5?10?2mm，介

电常数为2.5?10?11Fm，那么膜的面积要多大？ 解：由C??Sd得 2.5?10?6S?Cd??F?3.5?10?11?5m2.5?10F/m?3.5m

2即膜的面积要为3.5m2

4.27 一平行板电容器两极板相距为2.0mm，电势差为400V，两极板间相对介电常数为

?r?5.0的均匀玻璃片。略去边缘效应，试求玻璃表面上极化电荷的面密度。

解：由题意可知d?2.0mm，?U?400V，?r?5.0，对于平行板电容器有

?U?Ed?E0d?r400V

可得

E??Ud2.0?10m?U?r400V?5.06E0???1?10V/m ?3d2.0?10m??3?2?10V/m

5极化电荷产生的电场强度

E??E?E0?8?10V/m

5则玻璃表面上极化电荷的面密度

???E??0?8?10V/m?8.85?105?12F/m?7.1?10?6C/m

24.28 一平行板电容器由面积均为50cm2的两金属薄片贴在石蜡纸上构成，已知石蜡纸厚为

0.10mm，相对介电常数为2.0。略去边缘效应，试问这电容器加上100V的电压时，

每个极板上的电荷量是多少？

解：由题意可知S?5?10?3m2，d?1.0?10?4m，?r?2.0，?U?100V ，则

E??Ud?100V1.0?10?4m?1?10V/m

?126D??0?rE?8.85?10F/m?2.0?1?10V/m?1.77?106?5C/m

2由有介质时的高斯定理，可以求出平行板电容器中电位移大小D??0?容器每个极板上的电荷量

q?DS?1.77?10?5qS，所以平行板电

C/m?5?102?3m2?8.85?10?8C

4.29 一平行板电容器两极板间左半边是空气，右半边是?r?3.0的均匀介质。两极板相距

为10mm，电势差为100V。略去边缘效应，试分别求两极板间空气中和介质中的电场强度和电位移的值。 解：由题意可得

E空气?E介质??Ud?100V0.01m?12?10V/m

F/m?10V/m?8.85?104?84D空气??0E空气?8.85?10C/m

?72D介质??0?rE介质?8.85?10?12F/m?3.0?10V/m?2.66?104C/m

24.30 一平行板电容器，两极板相距为d，对它充电后把电源断开。然后把电容器两极板之

间的距离增大到2d，忽略边缘效应，试讨论电容器的极板带电量、板间电场强度、电容及电场能量的变化。

解：设开始时电容器的极板带电量为Q、板间电场强度为E、电容为C、电场能量为We，电容器两极板之间的距离增大到2d后，电容器的极板带电量为Q?、板间电场强度为E?、电容为C?、电场能量为We?。

充电后把电源断开，电容器两极板跟其它导体不接触，带电量不变，即Q??Q。

C???S2d?12C

E???U?2d?Q?C?2d?2Q2dC??Ud?E

We??Q?22C??Q2C?2We

d2+?

的大平板，如图

-? 4.31 在两板相距为d的平板电容器中插入一块厚

4-98所示。设电容器本身的电容为C0，讨论在以下两种情况下电容器电容的变化：1）大平板是金属导体；2）大平板是相对介电常数为?r的介质。 解：（1）插入厚度为间距减小为d?d2d/2 d2图4-98 习题4.31用图

的大平板是金属导体时，相当于原来电容器

，故

2?0SdC??0Sd?d/2d2??2C0

（2）插入厚度为

的大平板是相对介电常数为?r的介质时，取两底面与电容器极板平行、

其中一底面在极板内部、底面积为?S的闭合圆柱面为高斯面。由介质中的高斯定理有

???QD?dS?D?S???S??S

SQS得到电容器两极板间电位移矢量的大小为

D?

则电容器两极板间有介质处电场强度大小为

E1?D?Q?0?r?0?rS

电容器两极板间无介质处电场强度大小为

E2?D?Q?0?0S

两极板间的电势差为

??ddQd1?U??E?dl?E1?E2(d?)?(?1)

222?0S?r插入大平板后，电容器的电容

C??Q?U?2?0Sd?r1??r?2?r1??rC0

4.32 空气中有一半径为R的导体球，电势为U，求它表面紧邻处的静电场能量密度。

解：设导体球带电量为Q，所带电荷均匀分布于导体球的表面，根据电荷的球对称分布可知电场应是球对称分布的。取半径为R且与导体球同心的球面为高斯面，由高斯定理有

?e??Q2 ??E?dS?E?4?R?S?0导体球表面紧邻处的电场强度大小

E?Q4??0R2，方向沿径向

导体球表面紧邻处的电势为

??U??E?dl???REdr???Q4??0r2Rdr?Q4??0R

导体球表面紧邻处的静电场能量密度为

we?12?0E2?12?0(Q4??0R2)?212?01R2(Q4??0R)?2?0U2R22

4.33 在介电常数为?的无限大均匀电介质中，有一半径为R的导体球，带电量为Q，求电

场的能量。

解：根据电荷的球对称分布可知电场应是球对称分布的，取与球体同心、半径为r的球面为高斯面，由介质中的高斯定理有 （1）r?R区域

??2D?dS?D?4?r?0 ?D?0 E?0

（2）r?R区域

??2D?dS?D?4?r?Q ?D?Q4?r2

Q4??r2E?D??

导体球内部场强为零，电场能量也为零。外部的电场是非均匀的，但具有中心对称性，为此取一半径为r、厚为dr的球壳，如图所示。

其体积为dV?4?rdr，在此体积内可认为电场能量密度相等，

dr2 rQ R所以球壳内的电场能量为

dWe?wedV?12?EdV?212?(Q4??r2)4?rdr?22Q228??rdr

于是，带电导体球的电场的静电能为 We??VdWe?Q28????drr2R?Q28??R

4.34 一个容量为10?F的电容器，充电到500V，求它所储存的能量。 解：电容器所储存的能量为

We?12C(?U)?212?1?10?5F?(500V)?1.25J

24.35 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，求它的静电场能量。

解：根据电荷的球对称分布可知电场应是球对称分布的，取与球体同心、半径为r的球面为高斯面，由高斯定理有 （1）r?R区域

?3??1Qr2E?dS?E?4?r?

?0R3E?Qr4??0R3

（2）r?R区域

??Q2 E?dS?E?4?r???0E?Q4??0r2

球体的电场是非均匀的，但具有中心对称性，为此取一半径为r、

dr r厚为dr的球壳，如图所示。其体积为dV?4?rdr，在此体积内可认为电场能量密度相等，所以球壳内的电场能量为 dWe?wedV?122Q R ?0EdV?212?0E4?rdr

22于是，带电导体球的电场的静电能为

We??VdWe??R120?0(Qr4??0RQ8??2)4?rdr?322??12R?0(Q4??0r2)4?rdr

22?Q268??0R?R0rdr?40??1r2Rdr?3Q220??0R

4.36 一球形电容器由半径分别为R1和R2?R1?R2?的两个同心金属薄球壳构成，当它们带

有等量异号电荷时，电势差为U，求该电容器所储存的电场能量。 解：如图所示，设内外两个极板A和B上各带上?Q的电荷。因为电荷分布具有球对称性，故选取取如图所示的半径为r的同心球

BS R2 Q R1?Q 面为高斯面。根据高斯定理，有

??Q2 E?dS?E?4?r?? A r?0E?Q4??0r2

两极板的电势差为

U??BA??R2E?dl??R1Q4??0r2dr?Q4??0(1R1?1R2)

球形电容器的电容为

C?QU?4??0R1R2R2?R1

该电容器所存储的电场能量为

We?12CU2?2??0R1R2UR2?R12

4.37 一长直导线载有电流I，求它上面长为l的一段电流在其中垂面上距离为r处的场点所

产生的磁感应强度。

解： 如图所示，场点P在长为l的一段电流的垂面上，所以有?1????2。由毕奥-萨伐尔定律可知，导线上任??意电流元Idl在P点激发的磁场dB方向都是垂直纸面向?Idll dl ? r ?1 ?2 ??dB P 里。因此，合磁场也在这个方向上，它的大小为 B??0I4?r(cos?1?cos?2)??0I4?r(l2(l2)?r22??l2(l2)?r22)??0I2?r2ll?4r2

4.38 一条很长的载流直导线，在离它10m处产生的磁感应强度为10T，试问它所载有

?3?3

的电流有多大？

解：无限长载流直导线在离它a处产生的磁感应强度为

B??0I2?a

无限长载流直导线所载有的电流大小为

I?2?aB?2??10?3?10?7?3?04??10?5(A)

4.39 求图4-99中P点的磁感应强度B的大小和方向。

I

a I

P

I

图4-99 习题4.39用图

?r P I I

R R ?P

(a) (b) (c)

解：（a）P点的磁感应强度为两根半无限长直导线在P点产生磁感应强度的叠加

B??0I4?a?0??0I4?a

由毕奥-萨伐尔定律可知，P点磁感应强度方向垂直纸面向外。

（b）P点的磁感应强度为两根半无限长直导线和一根半圆形导线在P点产生磁感应强度的叠加

B??0I4?r??0I4?r??0I4r??0I2?r??0I4r

由毕奥-萨伐尔定律可知，P点磁感应强度方向垂直纸面向里。

（c）P点的磁感应强度为两根直导线和一根圆弧状导线在P点产生磁感应强度的叠加

B?0?0??0I?22R?2???0I8r

由毕奥-萨伐尔定律可知，P点磁感应强度方向垂直纸面向里。

4.40 一载有电流I的导线弯折成如图4-100所示的平面环路，其中FABCD为边长为b的

正方形的一部分，DEF是半径为a的四分之三圆弧。求圆心O点的磁感应强度。 解：O点的磁感应强度为直导线AB、BC、CD、FA和圆弧状导线DEF在P点产生磁感应强度的叠加

BAF?BCD?0

A I F O E D B

C 图4-100 习题4.40用图

BAB??0I4?b(cos?2?cos3?4)?2?0I8?b2?0I8?b

BBC??0I4?b(cos?4?cos?2)?

BDEF??0I32a4?3?0I8a

由毕奥-萨伐尔定律可知，各段导线在O点产生的磁感应强度方向垂直纸面向里。所以O点的磁感应强度方向垂直纸面向里，大小为

B?BAF?BAB?BBC?BCD?BDEF?2?0I8?b?2?0I8?b?3?0I8a??0I4?(2b?3?2a)

4.41 两根导线沿半径方向被引到铁环上A、B两点，电流方向

如图4-101所示。求环心O处的磁感应强度。

解：由毕奥-萨伐尔定律可知，两根直导线在O点产生的磁感应强度为零。

设右侧圆弧导线对应圆心角为?，半径为r，电流为I2，左侧圆弧导线中电流为I1。则左侧圆弧导线在O点产生的磁感应强度为

B1?I1A O θ I2B 图4-101 习题4.41用图

?0I12???2r?2?

右侧圆弧导线在O点产生的磁感应强度为

B2??0I22r??2?

因为左右两段圆弧导线并联，所以其电流大小与电阻大小成反比，而电阻大小与导线长度成正比

I1I2B1B2?R2R12r??r?r(2???)2??I1I2??2????2???

?0I12?????0I2???2??????2?????1

2r2?左右两侧圆弧导线在O点产生的磁感应强度大小相等。由毕奥-萨伐尔定律可知，左右两侧

圆弧导线在O点产生的磁感应强度方向相反，所以环心O处的磁感应强度为0。

4.42 如图4-102所示，相距d的两平行直导线载有流向相反的电

I

d l r1 r2 r3 I

dr图4-102 习题4.42用

流I。求两导线所在平面内与两导线等距离的一点处的磁感应强度；设r1?r3，求通过图中斜线所示矩形面积的磁通量。

解：（1）两导线所在平面内与两导线等距离的一点与两导线距离为点产生的磁感应强度为

B1?B2?d2，两直导线各自在该

?0I2?d2??0I?d

由毕奥-萨伐尔定律可知，B1与B2方向相同，都垂直纸面向外。所以两导线所在平面内与两导线等距离的一点出的磁感应强度为

B?B1?B2?2B1?2?0I?d

（2）取如图所示的矩形为积分元，可认为该积分元内磁感应强度是均匀的。设积分元距左侧直导线距离为r，则通过积分元的磁通量为

d?B?(?0I2?r??0I2?(d?r))ldr

通过图中斜线所示矩形面积的磁通量为

?B???d?B?(lnr1?r1?r2r1(?0I2?rr3??0I2?(d?r))?)ldr??0Il2?(lnr1?r2r1r1?lnd?(r1?r2)d?r1lnr1?r2r1)?0Il2?r1?r2?ln?0Il2?r2?r3(lnr1?r2r1?lnr1?r2)??0Il?

4.43 无限长导体圆柱沿轴向通以电流I，截面上各处电流密度均匀分布，柱半径为R。求

柱内外的磁场分布。在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？

解：（1）由电流的轴对称，其产生的磁场也必有轴对称性。所以在导体横截面内以导体轴线为圆心作半径为r的圆为积分环路，根据安培环路定理有 在r?R区域

2???r?B?dl?2?rB??0I?R2

B??0Ir2?R2

在r?R区域

??B??dl?2?rB??0I

B??0I2?r

（2）在导体圆柱过中心且与轴平行的截面上取如图所示的矩形为积分元，可认为该积分元内磁感应强度是均匀的。设积分元距轴线的距离为r，则通过积分元的磁通量为

d?B?l?0Ir2?R2ldr

rdrO环绕中心轴线的磁通量为

?B??d?B??R?0Ir2?R20ldr??0Il4?

B L R 4.44 如图4-103所示，AB为闭合电流I的一直线段，长为

I 2R，圆周L平面垂直于电流I，半径为R且圆心O在AB的中点。求AB段电流的磁场沿圆周L的环流，并

O 对安培环路定理的适用条件进行讨论。 解：AB段电流在环上产生的磁感应强度为

B?A 图4-103 习题4.44用

?0I4?R(cos?4?cos34?)?2?0I4?R

方向沿圆的切线方向，并与电流方向满足右手螺旋定则。则AB段电流在环上产生的磁场沿圆周L的环流为

?L??B?dl?B?2?R?22?0I

原AB段电流在环上产生的磁场沿圆周L的环流不等于穿过该环路所有电流的代数和?0I，因在于安培环路定理只适用于恒定电流是闭合的情况。

4.45 内外半径分别为R1和R2?R1?R2?的无限长载流导体直圆管，电流I沿轴线方向流动，

并且均匀分布在圆管的横截面上，求磁场分布。

解：由电流的轴对称，其产生的磁场也必有轴对称性。所以在导体横截面内以导体轴线为圆

心作半径为r的圆为积分环路，根据安培环路定理有 在r?R1区域

???B?dl?2?rB?0 B?0

在R1?r?R2区域

?22???r??R1 B?dl?2?rB??0I22?R2??R1B??0Ir?R122222?rR2?R1

在r?R2区域

???B?dl?2?rB??0I

B??0I2?r

4.46 某一质量为4.6?10?3kg的粒子带有2.3?10?8C的电荷，在水平方向获得一初始速度

4.9?10ms。现利用磁场使这粒子仍沿水平方向运动，求应加多大的磁场？

5解：若使粒子沿水平方向运动，则该粒子在竖直方向上所受合外力为零。

mg?qvB

B?mgqv?4.6?102.3?10?8?3?9.85?4.9?10?4.0(T)

即若使粒子沿水平方向运动，应加大小为4.0T的磁场

4.47 在一磁场为15T的气泡室中，一高能质子垂直于磁场飞过时留下一半径为2m的圆弧

径迹，求此质子的动量。 解：由R?mvqB?pqB，可得质子的动量为

p?qBR?1.6?10?19?15?2?4.8?10?18(kg?m/s)

4.48 一载有电流I的细导线回路由半径为R的半圆形和直径构成，求圆心处dl长度的导线

所受的力。

解：直径部分在圆心处产生的磁感应强度为零，半径为R的半圆形在圆心处产生的磁感应强度为

B??0I?2R2???0I4R

方向与半圆面垂直。由安培力公式，圆心处dl长度的导线所受的力为

2???0IdF?|Idl?B|?IBdl?dl

4R