2012年上海高考数学（理科）试卷 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：

3?i= （i为虚数单位）. 1?i 2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x?1?2}，则A?B= .

3．函数f(x)?2cosx的值域是 . sinx?1 4．若n?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角

函数值表示）. 5．在(x?26)的二项展开式中，常数项等于 . x12 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为

V1,V2,…,Vn,…，则lim(V1?V2???Vn)? .

n?? 7．已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+?)上是增函数，则a的取值范 围是 .

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为 .

2 9．已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? . 10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角

.若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则 ???6l O M ? x f(?)? . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足?|BM||CN|，则AM?AN的取值范围是 . ?|BC||CD|13．已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为 .

1

14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

2D C

A B （ ）

15．若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则

（A）b?2,c?3. （B）b??2,c?3. （C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1. 16．在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是

222（ ）

（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定. 17．设10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105. 随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均为0.2，随机变量?2取值

x1?x22、

x2?x32、

x3?x42、

x4?x52、

x5?x12的概率也为0.2.

（ ）

若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差，则

（A）D?1＞D?2. （B）D?1＝D?2. （C）D?1＜D?2. （D）D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

?18．设an?1，Sn?a1?a2???an. 在S1,S2,?,S100中，正数的个数是 （ ） sinnn25 （A）25. （B）50. （C）75.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；（6分）

B

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

20．已知函数f(x)?lg(x?1).

（D）100. P E A C D （1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数

y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）

2

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

y 122P y?49x；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救

援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 O 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） A

22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2?y2?1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证： OP⊥OQ；（6分）

（3）设椭圆C2:4x?y?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

23．对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定义向量集

22x Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X

具有性质P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）

（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,?,xn的通 项公式.（8分）

3

2012年上海高考数学（理科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

3?i 1．计算：= 1-2i （i为虚数单位）.

1?i 2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x?1?2}，则A?B=(?1,3) . 2 3．函数f(x)?2cosx的值域是[?5,?3] . 22sinx?1 4．若n?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角

函数值表示）. 5．在(x?26)的二项展开式中，常数项等于 -160 . x12 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，

n??为公比的等比数列，体积分别记为

87V1,V2,…,Vn,…，则lim(V1?V2???Vn)? .

7．已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+?)上是增函数，则a的取值范

围是 (-?, 1] . 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为

33? .

9．已知y?f(x)?x2是奇函数，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? -1 . l 10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角 .若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则 ???6f(?)?sin(?1??) . O 6M ? x 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是2（结果用最简分数表示）. 312．在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足?|BM||CN|，则AM?AN的取值范围是 [2, 5] . ?|BC||CD|13．已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为5. 414．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

D C

A B ca2?c2?1 . 常数，则四面体ABCD的体积的最大值是23二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

215．若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则 （ B ）

（A）b?2,c?3. （B）b??2,c?3. （C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1. 16．在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是 （ C ） （A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定.

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