固体物理课后答案 下载本文

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构,设x 表示钢球所占体积与总体积之比,证明结构 x简单立方 π / 6 ≈ 0.52 体心立方 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 2π / 6 ≈ 0.74六方密排 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石 3π /16 ≈ 0.34

解:设钢球半径为r ,根据不同晶体结构原子球的排列,晶格常数a 与r 的关系不同,分别为:简单立方:a = 2r

金刚石:根据金刚石结构的特点,因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴,因此有

1.3 证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方;面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明:体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为

根据定义,体心立方晶格的倒格子基矢为

同理

与面心立方晶格基矢对比,正是晶格常数为4π / a的面心立方的基矢,说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意,倒格子不是真实空间的几何分布,因此该面心立方只是形式上的,或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义,面心立方的倒格子基矢为

同理

而把以上结果与体心立方基矢比较,这正是晶格常数为4π a的体心立方晶格的基矢。

证明:根据定义,密勒指数为的截距分别为

的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢

即为平面的法线

根据定义,倒格子基矢为

则倒格子原胞的体积为

1.6 对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系,面间距d 满足

其中 a 为立方边长。

解:根据倒格子的特点,倒格子

与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系

因此只要先求出倒格,求出其大小即可。

因为倒格子基矢互相正交,因此其大小为

则带入前边的关系式,即得晶面族的面间距。

1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中,最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ,写出最近邻和次近邻的原子间距。

答:体心立方晶格的最近邻原子数(配位数)为8,最近邻原子间距等于

次近邻原子数为6,次近邻原子间距为a ;

面心立方晶格的最近邻原子数(配位数)为12,最近邻原子间距等于

次近邻原子数为6,次近邻原子间距为a 。

2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2ln 2

证明:设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链,取一负离子作参考离子,用r表示相邻离子间的距离,于是有

根据假设,马德隆常数求和中的正负号这样选取,即遇正离子取正号,遇负离子取负号。 因子 2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子,一个在参考离子左面,一个在其右面。 则马德隆常数为

当x =1时,有

所以α = 2ln 2

根据平衡条件,即稳定结合时

求得 则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为

计算中没有考虑零点能的量子修正,这是造成理论和实验值之间巨大差别的原因。

是1.5的图 是3.2的图

是3.3的图

3.2 讨论N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N 个格波解,当M = m时与一维单原子链的结果一一对应。

解:如图所示,质量为M 的原子位于2n ?1, 2n +1, 2n + 3?? 质量为m 的原子位于2n, 2n +

2,2n + …. 牛顿运动方程为

每个原胞有两个,共有2N 个形式相同的独立方程。形式解为:

代回运动方程有

这是一个以 A 、B 为未知量的齐次线性方程组,有解的条件是系数行列式为零

有两组不同的解:

q 的取值范围是:对应于每个 q 值,有两个格波,共计2N 个格波。

当M = m时,两组解变为

初看似乎仍为双值函数,

但是由于原来取布里渊区为为实际区域大小的一半,所以

当我们把布里渊区扩展为时,就不必用双值表示了,变为

这时当然就没有光学波了

3.3 考虑一双原子链的晶格振动,链上最近邻原子间力常数交替为c 和10c 。令两种原子质量相同,且最近邻间距为a / 2。求在k = 0和k =π / a处的ω(k)。大略地画出色散关系。此问题模拟如2 H 这样的双原子分子晶体。

解:可以这样考虑这个问题, H2分子组成一维晶体,分子内部的相互作用较强,力常数为 10c ,相邻的原子间作用较弱,力常数为c ,第s 个分子中的两个原子的位移分别用

表示:

将试探解

代入上式 有

是u ,ν 的线性齐次方程组,存在非零解的条件为

当k = 0时,

当k =π / a 时

ω2与k 的关系如下图所示,这是一个双原子(例如2 H )晶体。令

3.6 求出一维单原子链的频率分布函数。 解:设单原子链长度 L = Na

频率分布函数

3.7 设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有

求证:

解:

依据

现在

带入上边结果有

3.8 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格,在德拜近似下计算比热,并论述在低温极限比热正比于T 2。

解:在德拜近似下

式中出现 2N ,是由于二维晶格中每个原子的自由度为2,总自由度为2N 。则

3.11 一维复式格子 中

解:(1)

(2)