行列式是数学中的一个重要计算工具,在解析几何中有着广泛的应用,它不仅形式优美,而且便于记忆.本文较系统的总结了行列式在解析几何中一些重要方程中的应用,并且用行列式的形式给出了一些多边形面积或多面体体积的计算公式.
1.行列式在解析几何中一些重要方程的表示中的应用
1.1 平面上过已知两点的直线方程
定理1.1 平面上过两个已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程是
xy1 x1x2y11=0 (1-1) y21推论 平面上三点Pi(xi,yi) (i=1,2,3)共线的充要条件是
x1y11y21?0 (1-2)
y31 x2x3由于P1,P2,P3共线的充要条件即为P1在P2,P3所决定的直线上,而P2,P3所决定的直线L的方程是
xx1x2y1y11=0 (1-3) y21 从而P1在L上的充要条件为
x1y11y21?0 即为(1-2)式. y31 x2x3很自然的我们会问,空间三点共线的充要条件是什么呢？ 我们做一下推广.
空间三点Pi(xi,yi,zi) (i=1,2,3)共线充要条件是
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x2x31z31x3z3x11z11x1z1x21y21?0 z21 y2z2y31?y3y11?y1事实上 PP12=(x2?x1,y2?y1,z2?z1)
PP 13?(x3?x1,y3?y1,z3?z1)从而有
ijy2?y1y3?y1kz2?z1 z3?z1i+
PP12?PP13=x2?x1x3?x1 =
y2?y1y3?y1x2z2?z1z3?z1x3z3z2?z1z3?z2x2?x1x3?x2x1z1j+
x2?x1x3?x1y2?y1y3?x1k
x31z21x11z11x21y21k z21 =y2z2y31i?y3y11j?y1而P1,P2,P3共线的充要条件是PP12?PP13=0，由此得证.
1.2 平面上三点所确定的圆的方程
定理1.2 平面上不共线的三点Pi(xi,yi) (i=1,2,3)所确定的圆的方程可用下面四阶行列式表示
x2?y2x12?y12 2x2?y22x32?y32xx1x2x3y1y11?0 (1-4) y21y31 证明 设所求的圆的方程为
x2?y2?Ax?By?C?0
依题意得
x12?y12?Ax1?By1?C?0x22?y22?Ax2?By2?C?0 x32?y32?Ax3?By3?C?0把以上四式看成是关于1,A,B,C的齐次方程组,这个方程组显然有非零解.根
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据有非零解得充要条件得
x2?y2x12?y12 2x2?y22x32?y32xx1x2x3y1y11?0 y21y31推论 平面上四点Pi(xi,yi) (i=1,2,3,4)共圆的必要条件是
x12?y12x1x2x3x4y11y21y31y41?0 (1-5)
x22?y22x32?y32x42?y42但需要注意的是(1-5)式不是四点共圆的充分条件.例如,当四点共线时(1-5)仍然成立,但是如果已知四点不共线,(1-5)式就是四点共圆的充分条件.因此我们可以得到不共线四点共圆的一个充分必要条件.
我们已经知道,空间不共面四点可以确定一个球面方程,下面我们将给出与(1-5)相仿形式的行列式表示.
1.3 空间中不共面的四点所确定的球面方程
定理1.3 空间中不共面的四点Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4)所确定的球面的方程可以用下面的五阶行列式表示
x2?y2?z2x12?y12?z12xx1x2x3x4yy1y2y3y4z1z11z21?0 (1-6) z31z41 x22?y22?z22x32?y32?z32x42?y42?z42其证明的过程同定理1.2.
由定理1.3可以得到空间五点共球面的必要条件,即
推论 空间中五点Pi(xi,yi,zi) (i=1,2,3,4,5)共球面的条件是
?1?2?3?4?5x1x2x3x4x5y1y2y3y4y5z11z21z31?0 (1-7) z41z51其中,?i?xi2?yi2?zi2,(i=1,2,3,4,5)
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同样应该注意,条件(1-7)不是五点共球面的充分条件.例如,当五点共线(或者共面)时,条件(1-7)也是成立的.
1.4 空间中不共线的三点确定的平面方程
定理1.4 空间中不共线的三点Pi(xi,yi,zi) (i=1,2,3)所确定的平面方程为
x?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 (1-8) z3?z1 x2?x1x3?x1或者为
xyy1y2y3z1?0 (1-9)
x1x2x3z11z21z31 (1-8)或者(1-9)称为平面的三点式方程.
事实上,将(1-8)或者(1-9)中的行列式按照第一行展开可以知道,(1-8)或者(1-9)表示平面,又由行列式的性质知道,Pi(xi,yi,zi) (i=1,2,3)均满足(1-8)或者(1-9)式,从而(1-8)或者(1-9)表示过P1?P2,P3的平面.
推论 空间中任意四点Pi(xi,yi,zi) (i=1,2,3,4)共面的充分必要条件是
x1y1y2y3y4z11z21z31z41?0 (1-10)
x2x3x41.5 两条异面直线所确定的公垂线的方程
定理1.5 空间两条异面直线的方程如下
L1:
x?x1y?y1z?z1??X1Y1Z1x?x2y?y2z?z2L2:??X2Y2Z2
它们所确定的公垂线方程为
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