第7练 基本初等函数
[明考情]
基本初等函数是函数性质的载体，是高考的命题热点，多以选择题形式出现，中档难度，有时出现在选择或填空的最后一题. [知考向]
1.幂、指数、对数的运算与大小比较. 2.基本初等函数的性质. 3.分段函数.
4.基本初等函数的综合应用.
考点一 幂、指数、对数的运算与大小比较 方法技巧 幂、指数、对数的大小比较方法 (1)单调性法.(2)中间值法.
??2，x＜0，
1.已知函数f(x)＝?
?f?x－1?＋1，x≥0，?
x
则f(2 016)等于( )
4 0294 035
A.2 014 B. C.2 015 D.
22答案 D
4 035－1
解析 f(2 016)＝f(2 015)＋1＝…＝f(0)＋2 016＝f(－1)＋2 017＝2＋2 017＝.
22.(2016·全国Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A.b 解析 因为a＝2，b＝4，由函数y＝2在R上为增函数知b 2?2??2?A.a＜a＜b C.a＜a＜b baaaba432513B.a 4325x4323132323B.a＜b＜a D.a＜b＜a 1 baaaab答案 C 1?1?b?1?a?1?x解析 由于指数函数y＝??是减函数，由已知＜??＜??＜1，得0＜a＜b＜1.当0＜a＜1 2?2??2??2?时，y＝a为减函数，所以a＜a，排除A，B；又因为幂函数y＝x在第一象限内为增函数，所以a＜b，故选C. 5ba4.(2016·浙江)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，a＝b，则a＝________，b＝________. 2答案 4 2 15 解析 设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2， t2所以a＝b， 因此a＝b?b＝b， ba2b2 xbaaaa b2 ① ② 解得b＝2，a＝4. 5.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)， b＝f(log13)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是________. 2答案 c＜b＜a 解析 log13＝－log23＝－log49，b＝f(log13)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49，0.2 2?3532－0.6 55?1?＝??＝55＝125＞32＝2＞log49， ?5?又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以f(0.2 －0.6 )＜f(log13)＜f(log47)，即c＜b＜a. 2考点二 基本初等函数的性质 方法技巧 (1)指数函数的图象过定点(0，1)，对数函数的图象过定点(1，0). (2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数. (3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质. 6.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a>1，c>1 2 B.a>1，0 解析 由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.故选D. 21 7.(2017·银川市兴庆区一模)设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x的最大整数，则yx1＋22＝[f(x)]的值域是( ) A.{0，1} C.{－1，1} 答案 B 11 解析 ∵f(x)＝－x， 22＋111 分析可得－＜f(x)＜， 22∴[f(x)]＝{0，－1}. 8.(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) C.(1，＋∞) 答案 D 解析 由x－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2. 设t＝x－2x－8，则y＝ln t为增函数. 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x－2x－8的单调递增区间. ∵函数t＝x－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞). 故选D. 9.已知函数f(x)＝x－4＋ 9 ，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝x＋1 2 2 2 2 2 xB.{0，－1} D.{1，1} B.(－∞，1) D.(4，＋∞) a|x+b|的图象为( ) 3 答案 A 解析 当x∈(0，4)时，f(x)＝x＋1＋∴a＝2，b＝1. ∴g(x)＝2 |x+1| 9 －5≥1(当且仅当x＝2时取等号)， x＋1 的图象关于直线x＝－1对称， 且在[－1，＋∞)上为增函数，故选A. 10.(2017·钦州一模)已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) 答案 C 解析 由图象易知b＞2，1＜a＜2， B.[3＋22，＋∞) D.[6，＋∞) ∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，则a＝ bb－1 ， 2b－b2?b－1?＋3?b－1?＋11 则a＋2b＝＋2b＝＝＝2(b－1)＋＋3≥22＋3， b－1b－1b－1b－1当且仅当b＝∵b＞2， ∴a＋2b＝ 2 ＋1时取等号. 2 b22 bb－1 ＋2b＞6. 考点三 分段函数 方法技巧 (1)分段函数求函数值：先范围，再代入. (2)分段函数在整个定义域上的单调性：一定要注意定义域的分界点处函数值的大小关系. 4