?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C2(z?1)z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

ez因为函数f(z)?在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆

c1,c2且位于c内

ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz?? 2C2z(z?1)?2?i

z?0ezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

z15（3）．?dz

z?3(1?z2)2(2?z4)3解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?3内，由留数定理

z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----（5分） 11?2?iRes[f()2] ----（8分）

zz1()15111z f()2?12143z2zz(1?2)(2?())zz111f()2?有唯一的孤立奇点z?0, zzz(1?z2)2(2z4?1)3共6页第 5 页

11111Res[f()2,0]?limzf()2?lim?1 2243zzzzz?0z?0(1?z)(2z?1)z15??dz?2?i --------（10分）

z?3(1?z2)2(2?z4)3z(z2?1)(z?2)32(z?3)（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇3(sin?z)点？，如果有极点，请指出它的级. 解

：

z(z2?1)(z?2)3(z?3)2f(z)?的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?3(sin?z)（1）z?k,k3?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，

（2）z?0，z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， （3）z（4）z?3为f(z)的一级极点，

?2,?3,?4?，为f(z)的三级极点；

（5）?为f(z)的非孤立奇点。

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数； 2z(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??

解：（1）当0?z?1?1

111f(z)?2??[]?

z(z?1)(z?1)(z?1?1)?1nn?[]?[(?1)(z?1)]? 而?(z?1?1)n?0??(?1)nn(z?1)n?1

n?0?f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分

n?0?共6页第 6 页

（2）当0?z?1

111?f(z)?2??2=

z2z(z?1)z(1?z)?nz? n?0????zn?2 -------10分

n?0（3）当1?z??

11f(z)?2?z(z?1)z3(1?1)

z1f(z)?3z每步可以酌情给分。

?1n1()???n?3 ------14分 zzn?0n?0?五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：

?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x ??y(0)?1?y?(0)?1解：对y(x)的Laplace

变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有

1 …（5分） s?1s2L(s)?s?1?5(sL(s)?1)?4L(s)?整理得

11?(s?1)(s?1)(s?4)s?11111???? …（7分） 10(s?1)6(s?1)15(s?4)s?1151 ???10(s?1)6(s?1)15(s?4)L(s)?y(x)?六、（6分）求

1?x5x14xe?e?e …（10分） 10615??tf(t)?e??(??0)的傅立叶变换，并由此证明：

cos?t???td??e 22?2????0??t?i?tF(?)?ee解：?????dt (??0) --------3分

共6页第 7 页

F(?)??e??0?i?tedt??e?i?te??tdt (??0)

0??0?t????e??0(??i?)tdt??e?(??i?)tdt (??0)

?e?(??i?)t???e(??i?)t0??i?????i? (??0)

0F(?)?112?? ?2 (??0) ------4分 2??i???i????1??i?tf(t)?eF(?)d? (??0)- -------5分 ?2???1?2??????ei?t2?d? (??0) 22?????(cos?t?isin?t)d? (??0)

?????2??21???2?????0cos?tid? ? 22?????sin?t????2??2d? (??0)

??f(t)?2?????0cos?td? (??0)， -------6分 22?????cos?t???td??e 22?2????0

共6页第 8 页