概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名

第四节 方差与标准差

九、选择

1. 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)E(Y)，则（ B ）

（A）D(XY)?D(X)D(Y) （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y)

（C）X和Y独立 （D）X和Y不独立

2. 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别是4和2，则随机变量3X?2Y的方差是（ D ） 。

（A）8 （B）16 （C）28 （D）44 3. 设随机变量?和?相互独立,又X?2??5，Y?3??8，则下列结论不正确的是（ B ）

（A）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （B）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （C）E(X?Y)?E(X)?E(Y) （D）E(XY)?E(X)E(Y)

二、填空

?1,X?0,?1. 设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y??0,X?0, 则方差

??1,X?0，?D?Y??8/9 。

2. 设X是一随机变量, E(X)?1，E?X(X?1)??4， 则D(X)? 4 。 三、简答题

?15xy2,0?y?x?1,1. 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，求D?X?。

其它，?0,解：E?X??5， ??????006????1x5E?X2????x2f(x,y)dxdy??15x3dx?y2dy?，

????00725255D?X??E?X2???EX????。 ????736252????xf(x,y)dxdy??15x2dx?y2dy?1x

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第五节 某些常用分布的数学期望与方差

十、选择

1. 设X服从 （ C ）分布，则E(X)?D(X)。

（A） 正态 （B） 指数 （C）泊松 （D）二项

2. 已知X服从二项分布，且E(X)?2.4，D(X)?1.44，则二项分布的参数为（ B ）

（A）n?4,p?0.6 （B）n?6,p?0.4

（C）n?8,p?0.3 （D）n?24,p?0.1 二、填空

1. 已知随机变量X在?0,2?上服从均匀分布，则 EX2?

??4/3 .

2. 设P?X?1??P?X?2?，且X服从参数为?的泊松分布，则E(X)? 2

D(X)? 2 。

三、简答题

1. 设二维随机变量(X,Y)在区域R:0?x?1,y?x内服从均匀分布，试求 （1）X的边缘概率密度；

（2）随机变量函数Z?2X?1的方差D?Z?。

解：因为区域R的面积为1，所以(XY,的联合概率密度为)??1,0?x?1,y?x,f(x,y)??

??0,其它，（1）当x?0或x?1时，fX(x)?0，当0?x?1时，fX(x)??x?xdx?2x，

?2x,0?x?1,所以X的边缘概率密度为fX(x)??

0,其它。?12122（2）E?X???x2xdx?，E?X???x2xdx?

0032122D?Z??D?2X?1??4D?X??4?E(X)?(E(X))????2 9

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第四章 正态分布

第一节 正态分布的概率密度与分布函数

十一、选择

1. 设X~N(?,?),那么当?增大时，则P(X????)（ C） (A) 增大 (B) 减少 (C) 不变 (D) 增减不定 2. 随机变量X~N(?,1),且P{X?2}?P{X?2},则??（ B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2二、填空

1. 设随机变量X~N(100,?2),且P(X?103)?0.3085,

则P(97?X?103)? 0.383 2.设随机变量X~N(50,?2),且P(47?X?53)?0.6826,

则P(X?53)? 0.1587

三、计算题

1. 某地区的月降水量X（单位：mm）服从正态分布N(40,4),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm的概率.

2解：设A＝“某月降水量不超过50mm”x?4050?40P（A）＝P（x?50)?P（?)??(2.5)?0.993844观察10个月该地区降水量是否超过50mm，相当做10天贝努利试验 设Y＝“该地区降水量不超过50mm的月数”，则Y～B（10，0.9938）P（Y＝10）＝0.993810＝0.9396第二节 正态分布的数字特征

一、选择

1. 设随机变量X与Y独立，X~B(10,0.2),Y~B(10,0.4)，则E(2X?Y)?（ D ） (A) 6 (B) 4 (C) 10 (D) 8

二、填空

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1.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?则X的数学期望为____1___;X的方差为___2___1?12e?x2?2x?1，

2.设X,Y是两个相互独立且服从正态分布N(0,()2)的随机变量，

则随机变量X?Y的数学期望EX?Y?___2?___.三、计算题

1.已知连续型随机变量X的概率密度函数为p(x)????x???(1)求EX，DX;(2)若已知???p(x)dx??cp(x)dx，求常数c.c??16?e?x2?4x?46，

解(1)由于6?所以，X~N(2,3),从而，知(2)?c??P(x)?1e?x2?4x?462?3E(X)?2,D(X)?3dxt?x?23c?2?1e?(x?2)22?3P(x)dx????cc??12?312?3e?e?(x?2)22?3?13??t2212??e?t22dt??(c?23))

???cP(x)dx??(x?2)2?32dxt?c?23)x?23???c?232?edt?1??(c?2c?23所以，得所以，c?2.?(c?23)?1??(从而，知?(1c?2)?，?0233第三节 二维正态分布

一、计算题

1.已知矢径OP的终点的坐标为(X,Y)服从二维正态分布

f(x,y)?1e?2?x2?y22

求矢径OP的长度Z?OP的概率密度 解 Z?OP?X2?Y2

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