高考理科数学一轮复习专题训练:导数及其应用(含详细答案解析) 下载本文

第三单元 导数及其应用

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1?π?1.已知函数f(x)?cosx,则f(π)?f????( )

x?2?231A.? B. C.?

πππ3D.?

π【答案】D

【解析】由题意知:f??x???4π2π21111?π??f??cos?sin??cosx?sinx?fπ?cosπ??,,,????π22π2πx2xππ?2?123?π??f?π??f????????,

πππ?2?本题正确选项D.

2.曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为( ) A.x?y???1?0

B.2x?y?2??1?0 D.x?y???1?0

C.2x?y?2??1?0 【答案】C

【解析】当x?π时,y?2sinπ?cosπ??1,即点(?,?1)在曲线y?2sinx?cosx上. Qy??2cosx?sinx,?y?x?π?2cosπ?sinπ??2,

则y?2sinx?cosx在点(?,?1)处的切线方程为y?(?1)??2(x??),即2x?y?2??1?0. 故选C.

3.函数y?f(x)的导函数y?f?(x)的图象如图所示,则函数y?f(x)的图象可能是( )

1

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】由题意,根据导函数的图象,可得当x?(??,0)U(2,??)时,f??x??0, 则函数f?x?单调递增;当x?(0,2)时,f??x??0,函数f?x?单调递减,故选C. 4.函数f?x??x?ln?2?x?的单调增区间为( ) A.?1,??? 【答案】D

【解析】函数的定义域为?xx?2?,f?x??x?ln?2?x??f?(x)?当f?(x)?0时,函数单调递增,所以有

B.?1,2?

C.???,3?

D.???,1?

1?x, 2?x1?x?0?x?2或x?1,而函数的定义域为?xx?2?, 2?x所以当x?1时,函数单调递增,故本题选D. 5.若函数f?x??A.a?1 【答案】D

12x?2x?alnx有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是( ) 2B.?1?a?0

C.a?1

D.0?a?1

ax2?2x?a【解析】f?x?的定义域是(0,+∞),f??x??x?2??,

xx2若函数f?x?有两个不同的极值点,则g?x??x?2x?a在(0,+∞)由2个不同的实数根,

?Δ?4?4a?0?故?,解得0?a?1,故选D. 2?4?4ax??0?12?6.过点P(2,?6)作曲线f(x)?x3?3x的切线,则切线方程为( ) A.3x?y?0或24x?y?54?0 C.3x?y?0或24x?y?54?0

B.3x?y?0或24x?y?54?0 D.24x?y?54?0

2

【答案】A

【解析】设切点为(m,m3

-3m),f(x)?x3?3x的导数为f?(x)?3x2?3,

可得切线斜率k?3m2?3,

由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3

+3m=(3m2

-3)(x﹣m),

代入点P(2,?6),可得﹣6﹣m3+3m=(3m2-3)(2﹣m),解得m=0或m=3, 当m=0时,切线方程为3x?y?0;

当m=3时,切线方程为24x?y?54?0,故选A. 7.已知函数f?x??1?lnxx在区间?a,a?2?上不是单调函数,则实数a的取值范围是( ) A.??1,1? B.?0,1?

C.?0,1?

D.???0,1?e??

【答案】C

【解析】因为f?x??1?lnxx(x?0),所以f??x??1?1?lnxx??lnxx,

由f??x??0,得x?1,

所以当0?x?1时,f??x??0,即f?x??1?lnxx单调递增; 当x?1时,f??x??0,即f?x??1?lnxx单调递减, 又函数f?x??1?lnxx在区间?a,a?2?上不是单调函数, ?所以有?a?0?a?1,解得0?a?1.故选C.

??a?2?18.若存在唯一的正整数,使关于的不等式成立,则实数的取值范围是(A.??1??0,3??

B.??15??3,?

C.??13?4??,?

D.??5?4,3?32?2??

【答案】B 【解析】设,则存在唯一的正整数,使得,

设,

因为

3

所以当在而

处,恒过定点

以及

取得极大值,在

时,为增函数;当

取得极大值.

时,为减函数,

处,

,两个函数图像如图,

要使得存在唯一的正整数,使得,

?g?1??h?1??1?3?5?2a?15?只要满足?g?2??h?2?,即?8?12?5?3a,解得?a?,故选B.

34?27?27?5?4a?g3?h3??????x29.函数y?x (其中e为自然对数的底数)的大致图像是( )

eA. B. C. D.

【答案】B

【解析】方法一:排除法:当当

时,

时,

,排除C,

恒成立,排除A、D,故选B.

2x?ex?x2?exx?2?x?方法二:y'?, ?e2xex由,可得,令,可得或,

上单调递增,

所以函数在上单调递减,在

所以只有B符合条件,故选B. 10.函数A.值域为 C.

,正确的命题是( )

B.在D.过

是增函数 点的切线有两条

有两个不同的零点

【答案】B 【解析】因为

,所以f??x??lnx?1?0?x?1, e 4