∴DC′=1 BC=2.5，故答案为：2.5 ． 2点评：此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是△ABC的中位线是解题关键

（2013广东肇庆，19，6） 如图5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

D

O C

A

图5

B

【解析】通过观察不难发现△ACB≌ △BDA从而得出BC=AD，及∠C AB =∠D BA，进而推出△OAB是等腰三角形．

【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴ ∠D =∠C=90? （1分）

在Rt△ACB和 Rt△BDA 中，AB= BA ，AC=BD， ∴ △ACB≌ △BDA（HL） （4分） ∴BC=AD （5分）

（2）由△ACB≌ △BDA得 ∠C AB =∠D BA （6分） ∴△OAB是等腰三角形． （7分）

A

B

D

O C

【点评】本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，考察了学生简单的推理能力。难度较小。

(2013江苏苏州，23，6分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC． （1）求证：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．

分析： （1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等； （2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得出答案． 解答： （1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD， ∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA， ∴∠ABE=∠CDA 在△ABE和△CDA中，， ∴△ABE≌△CDA． （2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC， ∴∠AEB=∠ACE， ∵∠DAC=40°， ∴∠AEB=∠ACE=40°， ∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°． 点评： 此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯通．

（2013南京市，19，8）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E. （1）求证：△ABC≌△BDE；

（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）

AEBD

解析： 由两线垂直，利用余角的性质，推出∠DBE＝∠A,证出△ABC≌△BDE；利用旋转的性质，旋转中心是对应点中垂线的交点做出旋转中心O. 证明：(1)∵BE⊥AC,

∴∠A+∠ABE=900, ∵∠ABC=900， ∴∠DBE+∠ABE=900, ∴∠A =∠DBE

∵∠ABC=∠BDE=900，BD=AB

∴△AOF≌△DOC

(2)分别作对应点B、D连线的中垂线、A、B连线的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O.

点评：本题考查余角的性质、三角形全等的判定及旋转的性质与作图，考察了学生简单的推理能力.

（2013河北省23,9分）如图13-1，点E是线段BC的中点，分别以B、C为直角顶点的△

CEAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧。 （1）AE和ED的数量关系为______________，

AE和ED的位置关系为______________；

（2）在图13-1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图13-2和图13-3

①在图13-2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1:2，H是BC的中点。 求证：GH=HD，GH⊥HD。

②在图13-3中，点F在BE的延长线上，△EFG与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写出CH的长是多少时，恰好使得GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）。 【解析】（1）根据三角形全等，可知AE和DE的数量关系是相等，位置关系是垂直。（2）①总体思路就是证明△HGF≌△DHC，得到GH、HD垂直、相等，根据相似比为1:2可知GF=EF=

1AB ，211EB ，EH=HC=EC，AB=BE=EC=DC，22易得GF=HC，FH=CD，再加两个直角，便可得到全等三角形，进而得到GH和DH的大小和位置关系。②点G在AE的延长线上，也是主要证明△HGF≌△DHC，方法如①，可得CH=k。 【答案】解：（1）AE=ED AE⊥ED

（2）①证明：由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC。

∵△EGF与△EAB位似且相似比为1:2

11AB，EF=EB， 221111∴∠GFE=∠C。 ∵EH=HC=EC ∴GF=HC，FH=EF+EH=EB+EC=BC=EC=CD

2222∴∠GFE=∠B=90°，GF=

∴△HGF≌△DHC

∴GH=HD，∠GHF=∠HDC 又∵∠HDC+∠DHC=90° ∴∠GHF+∠DHC=90° ∴∠GHD=90° ∴GH⊥HD ②CH的长为k。

【点评】此题属于操作推理题，难度放在了（2）的第一小问，证明三角形全等时，找相等的两条边。近几年来河北省的中考题以全等为主，相似为辅，在教学中，加以注意，多训练学生。难度偏大。

（2013贵州遵义，12,4分）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为 ． 解析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为4cm； （2）当等腰三角形的腰为8cm；两种情况讨论，从而得到其周长． 解：（1）当等腰三角形的腰为4cm，底为8cm时，不能构成三角形． （2）当等腰三角形的腰为8cm，底为4cm时，能构成三角形，周长为4+8+8=20cm． 故这个等腰三角形的周长是20cm． 故答案为：20cm． 答案： 20cm 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目 一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行答 案，这点非常重要，也是解题的关键． （2013河南，13，3分）如图，点A,B在反比例函数y?k(k?0,x?0)的图像上，过点xA,B作x轴的垂线，垂足分别为M,N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为6，则k值为

解析：根据题意知△AOC的面积看作△AOM与△ACM面积之和；△ACM△的面积是△AOM的2倍，所以△AOM的面积是2，故k=4.

答案：4 点评：根据反比例函数中k的几何意义，要算出图象上面点向两个坐标轴引垂线所围成的矩形面积.

（2013河南，14，3分）如图，在Rt?ABC中， ?C?90,AC?6,BC?8.把△ABC

?A?C?交AB于点E，绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A?B?C?，若AD=BE，则△A?DE的面积为

14. 解析：由勾股定理知AB=10，利用△A′DE与△ACB相似，可以得出

DE8444??，设A?D?x,则DE?x，所以x?x?x?10，求出x=3. ∴△A′DEA?D633311的面积=??6?8?6

42答案：6