八年级数学上册专题突破讲练分式中的特殊运算试题(新版)青岛版 下载本文

分式中的特殊运算

一、分式的混合运算

分式的混合运算关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。

归纳:

①运算过程中,要注意运算顺序,在没括号的情况下,按从左向右的方向,先算乘方,再算乘除,最后算加减。有括号的要先算小括号,再算中括号,最后算大括号的顺序运算;

②分子或分母的系数是负数时,要把“-”转化为分式本身的符号;

③在解题过程中,要掌握“1”的使用技巧,“1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。

二、分式运算中常用的方法

分式运算是以分式的性质为基础,根据分式的结构特征,通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易,起到事半功倍的效果。 1. 改变“运算符号”

对于两个分母互为相反数的分式相加减,只须把其中一个分式分母的运算符号提出来,变成同分母分式进行相加减即可。

如:

x1x1x?1?????1 x?11?xx?1x?1x?12. 拆分法

有些分式的分母具有一定的规律,我们可以把它拆分成两个分式相减的形式,用来简化运算。 如:

111 ??a(a?1)aa?13. 换元法

对于有些分式的分子和分母都含有多项式,并且这些多项式大多相同,这时我们可以把每一个多项式看成一个整体,用一个简单的字母来代替它进行运算,起到简化运算的效果,最后不要忘记再替换过来。 4. 因式分解法

对有些分式的分母是多项式时,直接运算会很繁琐,通常为了简化运算,我们可以把这些多项式进行因式分解,找出规律约分,起到简化运算的效果。

如:

1(a?b)2?1(a?b)=(2a?b1?111)(?) a?ba?ba?b总之,分式运算方法有多种,在分式的实际运算中,我们要认真观察,反复思考,不断地归纳,寻找规律,以便能准确迅速计算出结果。

ba?22b ?2a2例题1 计算3a3bbababa??3(?)??23322ababab??2解析:本题我们如果直接去计算,计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有

b2a2ba,,因此我们可以用换元法,用字母x,y来代替它们简化运算,大大的提高了运算速度,ab最后不要忘记再替换回来。

答案:解:设

2ba=x,=y,则xy=1,于是 ab2原式=

x?y?2xyx?y?3xy(x?y)3322?x?yx?y?2xy22?(x?y)x?y ?32(x?y)(x?y)2(x?y)x?y ???3(x?y)x?y(x?y)bab?a2222?b?aabb?a所以原式=ab=ab ??2?222bab2?a2abb?ab?a?abab

例题2 设a、b、c均为正整数,若

22(x?y)abc<<,则a、b、c的大小是 。 a?bb?ca?c

解析:首先根据a、b、c均为正整数,确定a+b、b+c、a+c、a+b+c也为正整数,再通过

ca?b<

abbabacc<分为<、<、<分别通分,因式分解,判b?ca?ca?ba?cb?ca?ca?bb?c答案:∵a、b、c均为正整数,∴a+b、b+c、a+c、a+b+c也为正整数, ∵

断出b>c、b>a、a>c,综合得出b>a>c。

abc<<, a?bb?ca?cbc<, a?ba?c2

2

∴①

2

?c+ac<b+ab, ?b-c+ab-ac>0,

2

?(b-c)(b+c)+a(b-c)>0 ?(b-c)(a+b+c)>0, ?b>c, ②

ab<, b?ca?c2

2

22

?ac+a<b+bc,

?b-a+bc-ac>0,

?(b+a)(b-a)+c(b-a)>0, ?(b-a)(a+b+c)>0, ?b>a, ③

ac<, a?bb?c22

?a+ab>bc+c, 22

?a+ab-bc-c>0,

?(a+c)(a-c)+b(a-c)>0, ?(a-c)(a+b+c)>0, ?a>c, 综上,c<a<b。

点拨:我们运用因式分解法,把分式进行因式分解后可以进行约分,大大地简化了分式,提高了运算的速度。

巧用拆分法解决规律问题

分式的混合运算、分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时分子分母出现多项式,应先将多项式分解因式再约分.同时注意最后结果应为最简分式。

例题 用你发现的规律解答下列问题。

11111111?1-,?=-,?-… 1?222?3233?434(1)计算

11111++++= 。 1?22?33?44?55?61111+++…+= 。(用含有n的式子表示) 1?22?33?4n??n?1?(2)探究

(3)

111171+++…+的值为,n= 。 1?33?55?7352n?1?2n?1????111=-,据此可求出(1)、(2)的值;

n??n?1?nn?1解析:根据所给的等式可得

(3)依据进而可求n。

111711=(-)先展开,再合并,可化简(3)式,求出的结果等于,

35n??n?2?2nn?21111115+-+…+-=1-=; 2235666答案:解:(1)原式=1-

(2)原式=1-

111111n+-+…+-=1-=;

223nn?1n?1n?1(3)原式=

11111111n×(1-+-+…+-)=×(1-)=, 233522n?12n?12n?12n?117n根据题意可得:=,解得n=17。

2n?135故答案为:(1)

5n; (2); (3)17。 6n?1

一、选择题