中国石油大学(华东) 大学物理2-1 课后习题答案 下载本文

10r?8.75?10m,14-15 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是

42v?5.46?10msv?9.08?10ms,这时它12其时它的速率为;它离太阳最远时的速率是

离太阳的距离r2是多少。

[解] 彗星运行受的引力指向太阳,所以它对太阳的角动量守恒,它在走过离太阳最近或最

远的地点时,速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直,所以根据角动量守恒

mr1v1?mr2v2

由此得到

r1v18.75?1010?5.46?10412r2???5.26?10m2v29.08?10

4-16 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行,地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地球半径R=6378km,卫星与地面的最近距离为439km,与地面的最远距离为2384km若卫星在近地点的速率为8.1kms,求它在远地点的速率是多大?

[解] 地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上,设卫星运动时仅受地球引力的作用,由于该力总是指向O点,故卫星在运动的全过程中对O点角动量守恒。即

L1?L2

由于两者的方向一致,上式可直接用大小来表示, 有

mv1?R?l1??mv2?R?l2?

得到

R?l16378?103?439?1033v2?v1?8.1?10??6.30kmsR?l26378?103?2384?103

4-17 有两个质量都等于50kg的滑冰运动员,沿着相距1.5m的两条平行线相向运动,速率皆为10ms。当两人相距为1.5m时,恰好伸直手臂相互握住手。求:(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度; (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时,角速度变为多大?

[解] 取两人组成的系统为研究对象,系统对两人距离中点的角动量守恒

(1) 设两人质量均为m,到转轴的距离为r1,握住手以后绕中心角速度为?1,系统对转轴的转动惯量为J1,则有:

r1mv?r1mv?J1?1

(1)

222J?mr?mr?2mr1111 又 (2)

联立(1),(2)式得

?1?v/r1?10/0.75?13.3rad/s

7-21

(2) 设两人相距1.0米时,角速度为?2,此时系统对转轴的转动惯量为J2,两人到转轴的

距离为r2,则

J1?1?J2?2 (3)

J2?mr22?mr22?2mr22 (4)

又联立(2)-(4)式得

?2?r12?1/r22?0.752?13.3/0.52?29.9rad/s

本题要注意,对于质点系问题应先选择系统,然后通过分析受力及力矩情况,指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。

4-18 质量为m的质点开始处于静止状态,在外力F的作用下沿直线运动。已知

F?F0sin2?tT,方向与直线平行。求:(1)在0到T的时间内,力F的冲量的大小;(2)在0

到T2时间内,力F冲量的大小;(3)在0到T2时间内,力F所作的总功;(4)讨论质点的运动情况。

[解]由冲量的定义

t1I??Fdtt2t1,在直线情况下,求冲量I的大小可用代数量的积分,即

t2

(1) 从t=0到 t=T,冲量的大小为:

TI??Fdt

I1??Fdt?0?0TF0sinFT2?t2?tTdt?0[?cos]0T2?T=0

(2) 从t=0到 t=T/2,冲量的大小为

I2??Fdt??F0sin00T2T2FTTF2?t2?tT2dt?0[?cos]0?0T2?T?

(3) 初速度v0?0,由冲量定理 I?mv?mv0

当 t=T/2时,质点的速度

v?ITF0?m?m

又由动能定理,力F所作的功

mT2F02T2F02111222A?mv?mv0?mv??222222?m2?2m

(4) 质点的加速度

a?(F0/m)sin(2?t/T),在t=0到t=T/2时间内,a>0,质点作初速度为

零的加速运动,t=T/2时,a=0,速度达到最大;在t=T/2到t=T时间内,a<0,但v>0,故质

7-22

点作减速运动,t=T时 a=0,速度达到最小,等于零;此后,质点又进行下一周期的相似运动。总之,质点作速度方向不变的变速直线运动。

4-19 如图所示,将质量为 m的球,以速率v1射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内,使弹簧达到最大压缩点,这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗,试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中? [解] 设地球和弹簧枪的共同速度为v2,将球体和弹簧枪看作一个系统,因为水平方向所受合外力为零,所以该系统在水平方向上动量守恒,且碰撞前后速度方向相同,故有

mv1??m?M?v2 (1)

习题3-14

把球体、弹簧枪、地球看作一个系统,不考虑接触时的能量损失,则该系统的机械能守恒,所以贮存于弹簧中的能量

W?1212mv1??m?M?v222 (2)

11m22W?mv1??m?M?v22122?m?M?联立以上两式得

121m2?mv1?v1222m?M

mMv121m?2??mv1?1???2m?M??2?m?M?

4-20 角动量为L,质量为m的人造地球卫星,在半径为r的圆形轨道上运行,试求其动能、势能和总能量。

[解] 将人造地球卫星看作质点,因为卫星作圆周运动,所以r?v,由L?r??mv?知,

L?rmv

v?Lrm

211?L?1L22Ek?mv?m???22rm2r2m ??所以卫星的动能

选无穷远处为势能零点,由牛顿运动定律得:

v2GMmFn?m?2rr

所以

Ek?12GMmmv?22r

7-23

Ep??GMmr

L2Ep??2Ek??2mr 所以

L2E?Ek?Ep??2mr2 所以

4-21 如图所示,在水平光滑平面上有一轻弹簧,一端固定,另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为L0,倔强系数为k。当t=0时,弹簧长度为L0。滑块得一水平速度v0,方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用

?角表示)。

[解]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动,所以若把弹簧和小球作为一个系统,则系统的机械能守恒,即

12121mv0?mv?k(L?L0)2222 (1)

小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点,则小球对固定点角动量守恒,即 L?r?mv?恒量 故 L0mv0?Lmvsin?

2v?v0? (2)

由(1)式得 代入(2)式得

k(L?L0)2m

??arcsin2Lv0?L0v0k(L?L0)2m

4-22 在核反应堆中,石墨被用作快速中子的减速剂,裂变产生的快中子的质量为1个原子质量单位(记作1u),石墨原子质量为12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞,试计算:(1)碰撞前后中子速率的比值,(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为E0。 [解] 设中子质量为m1,碰撞前后速度分别为v1,v2;石墨原子质量为m2,碰撞后速度为v2。碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒,在一维碰撞中,有:

?7-24