10r?8.75?10m，14-15 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是
42v?5.46?10msv?9.08?10ms，这时它12其时它的速率为；它离太阳最远时的速率是
离太阳的距离r2是多少。
[解] 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最
远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒
mr1v1?mr2v2
由此得到
r1v18.75?1010?5.46?10412r2???5.26?10m2v29.08?10
4-16 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行，地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离为439km，与地面的最远距离为2384km若卫星在近地点的速率为8.1kms，求它在远地点的速率是多大?
[解] 地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上，设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该力总是指向O点，故卫星在运动的全过程中对O点角动量守恒。即
L1?L2
由于两者的方向一致，上式可直接用大小来表示， 有
mv1?R?l1??mv2?R?l2?
得到
R?l16378?103?439?1033v2?v1?8.1?10??6.30kmsR?l26378?103?2384?103
4-17 有两个质量都等于50kg的滑冰运动员，沿着相距1.5m的两条平行线相向运动，速率皆为10ms。当两人相距为1.5m时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时，角速度变为多大?
[解] 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒
(1) 设两人质量均为m，到转轴的距离为r1，握住手以后绕中心角速度为?1，系统对转轴的转动惯量为J1，则有：
r1mv?r1mv?J1?1
(1)
222J?mr?mr?2mr1111 又 (2)
联立（1），(2)式得
?1?v/r1?10/0.75?13.3rad/s
7-21
(2) 设两人相距1.0米时，角速度为?2，此时系统对转轴的转动惯量为J2，两人到转轴的
距离为r2，则
J1?1?J2?2 (3)
J2?mr22?mr22?2mr22 (4)
又联立(2)-(4)式得
?2?r12?1/r22?0.752?13.3/0.52?29.9rad/s
本题要注意，对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况，指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。
4-18 质量为m的质点开始处于静止状态，在外力F的作用下沿直线运动。已知
F?F0sin2?tT，方向与直线平行。求：(1)在0到T的时间内，力F的冲量的大小；(2)在0
到T2时间内，力F冲量的大小；(3)在0到T2时间内，力F所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。
[解]由冲量的定义
t1I??Fdtt2t1，在直线情况下，求冲量I的大小可用代数量的积分，即
t2
(1) 从t＝0到 t=T，冲量的大小为：
TI??Fdt
I1??Fdt?0?0TF0sinFT2?t2?tTdt?0[?cos]0T2?T=0
(2) 从t=0到 t=T/2，冲量的大小为
I2??Fdt??F0sin00T2T2FTTF2?t2?tT2dt?0[?cos]0?0T2?T?
(3) 初速度v0?0，由冲量定理 I?mv?mv0
当 t=T/2时，质点的速度
v?ITF0?m?m
又由动能定理，力F所作的功
mT2F02T2F02111222A?mv?mv0?mv??222222?m2?2m
(4) 质点的加速度
a?(F0/m)sin(2?t/T)，在t=0到t=T/2时间内，a>0，质点作初速度为
零的加速运动，t=T/2时，a=0，速度达到最大；在t=T/2到t=T时间内，a<0，但v>0，故质
7-22
点作减速运动，t=T时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。
4-19 如图所示，将质量为 m的球，以速率v1射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中? [解] 设地球和弹簧枪的共同速度为v2，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有
mv1??m?M?v2 (1)
习题3-14
把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量
W?1212mv1??m?M?v222 (2)
11m22W?mv1??m?M?v22122?m?M?联立以上两式得
121m2?mv1?v1222m?M
mMv121m?2??mv1?1???2m?M??2?m?M?
4-20 角动量为L，质量为m的人造地球卫星，在半径为r的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。
[解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以r?v，由L?r??mv?知，
L?rmv
v?Lrm
211?L?1L22Ek?mv?m???22rm2r2m ??所以卫星的动能
选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：
v2GMmFn?m?2rr
所以
Ek?12GMmmv?22r
7-23
又
Ep??GMmr
L2Ep??2Ek??2mr 所以
L2E?Ek?Ep??2mr2 所以
4-21 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为L0，倔强系数为k。当t＝0时，弹簧长度为L0。滑块得一水平速度v0，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用
?角表示)。
[解]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即
12121mv0?mv?k(L?L0)2222 (1)
小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即 L?r?mv?恒量 故 L0mv0?Lmvsin?
2v?v0? (2)
由(1)式得 代入(2)式得
k(L?L0)2m
??arcsin2Lv0?L0v0k(L?L0)2m
4-22 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂，裂变产生的快中子的质量为1个原子质量单位(记作1u)，石墨原子质量为12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞，试计算：(1)碰撞前后中子速率的比值，(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为E0。 [解] 设中子质量为m1，碰撞前后速度分别为v1,v2；石墨原子质量为m2，碰撞后速度为v2。碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒，在一维碰撞中，有：
?7-24