中国人口增长的预测和人口的结构分析

摘要

本文是在已知国家政策和人口数据的前提下对未来人口的发展进行预测和评估，选择了两种模型分别对人口发展的短期和长期进行预测。

模型一中我们在人口阻滞增长模型logistic模型的基础上进行改进，弥补了logistic原始模型仅仅能表示环境对人口发展趋势影响的缺陷，加入了社会因素的影响作为改进，保证了logistic改进模型的有效性和短期预测的正确性。多次运用拟合的方法（非线性单元拟合，线性多元拟合）对数据进行整合，得到的改进模型对短期预测具有极高的准确性，证明了我们的修正方式与模型改进具有一定的正确性。

模型二中我们分别考虑了城、乡、镇人口的发展情况，利用不同年龄段存活率和死亡率的不同，采用迭代的方式也就是Leslie矩阵的方式对人口发展进行预测，迭代的方式不同于拟合，具有逐步递进的准确性，在参数正确的前提下，能够保证每一年得到的人口都有正确性，同时我们分男女两方面来考虑模型，不仅仅用静态的男女比例来估算人口总数，具有更高的准确性。然而Leslie模型涉及的参数较多，如果采用动态模型的方式，计算量过大，我们首先用均值的方式对模型进行简化，同样得到迭代矩阵后的人口数值，发展趋势与预测相同，能够很好的预测中国人口的长期发展，同时，由于Leslie矩阵涉及多个参数，所以我们用最终的结果来表征老龄化程度，城乡比，抚养比等多个评价社会发展的参数，得到了较好的估计值，使模型在估算人口的基础上得到了推广和应用。

通过logistic改进模型和Leslie模型我们分别对中国人口发展进行短期和中长期预测，均能得到很好的效果，说明了我们的模型在适用范围内的准确性和实用性。

关键词：人口发展预测；logistic模型改进；参数拟合；Leslie迭代模型；

一、问题重述

中国是世界上人口最多的发展中国家, 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情,短时间内难以改变。人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一. 无论是对我国目前发展的认识还是对未来发展的预测,人口问题的研究都有着非常重要的意义. 从我国的实际情况和人口特点出发,认识人口数量的变化规律,建立人口模型,做出较准确的预测是控制人口增长的前提，而预测中国人口的变化趋势，是一切政策和方案实施的前提，所以，结合材料和背景，根据中国人口变化的趋势预测中国未来人口的变化是我们需要去研究的课题。

二、问题分析

材料中给出了《中国人口年鉴》来提供人口变化趋势，同时给出了《中国人口发展战略报告》来为我们提供中国人口的控制方案和方向，结合材料我们得到，最初未进行计划生育期间，人口数量大幅度上升，出生率远远大于死亡率，导致当下中国具有极大的人口基数，即使已经实施了计划生育政策，我们每年的新生婴儿数量仍然非常巨大，归根究底，都是因为过去的几十年里累计的巨大人口基数导致的。而当下，由于计划生育的实施以及时代的发展，大量的家庭几乎只有一个孩子甚至不生孩子，由此带来的是零增长甚至负增长，所以，结合当下我国人口基数大，然而生育率已经骤减等现况，结合经典人口预测模型对我国人口进行预测，是我们对问题的解决方案。

（1）首先我们要对人口的短期变化趋势进行预测，对当前和短期内的人口分布，人口现状进行定性的描述。虽然不同算法具有局限性，然而短期预测时，大量算法如：灰色预测，拟合预测都能够一定程度接近地对人口变化趋势进行表征而不产生较大误差，但是为了能够精准预测，我们选择对logistic模型进行改进，使其在进行短期预测时能够更加准确减少误差。

（2）在对人口的短期预测结束后，我们要对人口发展进行长期的预测，而材料中给出了城乡镇三类地区的人口分布，也帮助我们细化不同地区的人口发展，同时也能更加准确地对全国人口的人口发展进行长期预测，为此我们引入Leslie模型，利用矩阵迭代的方式进行长期的人口预测，在稳态下保证Leslie模型对长期预测就有准确性。

三、模型建立

1）符号说明 r——人口增长率

xi——人口数量下角标表示不同情况下的人口数量 g=g(t)——修正因子 k——年代，时间 b——生育率

s——存活率 d——死亡率 2）模型假设

1.假设社会稳定发展，不考虑意外发生的战争瘟疫等造成人口产生突变的因素。 2.由于社会发展的稳定性，假设年代不是影响出生率，死亡率等计算因子的主要因素，可以认为出生率，存活率，死亡率等因子是关于年龄的单元函数。 3.假设当前政策长久进行，女性生育年龄分布和生育模式保持当前情况不变，由此我们可以认为各年龄段的女性和男性生育率是一个固定分布。

3）模型建立

模型一、利用logistic模型的改进来预测短期人口的变化

我们知道，普通的人口阻滞增长模型将额外的环境条件等限制人口增长的因素考虑进来，并认为人口数量越大阻滞作用越明显，将人口的增长率r看作一个关于人口数量的函数而不认为是一个定值，此时r=r(x)，所以人口变化趋势可以用微分方程来表示：

我们引入人口容量设为

，则r(

)=0,此时

)

r(x)=r(1-由此解得：

x(t)=

综上，我们得到了原始的logistic模型，代表了环境容纳量一定的情况下人口发展的情况，然而我们单单考虑了环境因素而没有考虑社会因素的影响，这是导致logistic模型产生误差的原因，所以我们引入修正因子作为社会因素的影响修正，引入g(

)作为修正项，得到改进后的logistic函数：

x(t)=+g()

此时，我们通过数据研究，引入主要影响的三个因素，分别为城镇人口比例，男

女比例以及老龄人口比例作为影响因素，于是我们得到g=g(移项可得影响因子的关系函数

)，随后

g()= x(t)-

由于假设中提到了社会稳定的问题，所以我们认为城乡比，男女性别比例等一系列因素仅仅是时间的函数，随年份的改变而改变，所以

g=g()=g(t)

我们利用01年到05年的数据对logistic模型进行拟合（拟合函数见附录），得到xm和r的值，得到简单的logistic模型参数，附曲线如图

Xm=14.1990396292082; r=0.069311514967144;

得到logitic原始模型为x(t)=

图：logistic原始模型拟合——人口随时间变化

从图中我们虽然没有发现人口的S型增长，但是我们预见到峰值将会出现在2050年左右，符合人口发展的趋势，这里没有出现我们希望的S型增长，可能是因为我们的人口增长趋势已经进入S型增长的后半部分，或者中国人口基数过大或者模型简单考虑环境因素并没有很好解释人口发展，所以我们认为该图仍具有正确性，并以此为基础进行修正因子加入的改进。

而后我们对修正因子进行估算，通过数据，我们得到x(t)以及logistic模型的数值，代入可以得到g（t）的值，我们取2001-2005年城镇人口比例男女性别比例老龄化人口比例分别为x1 x2 x3作为影响因素，代入t=0、1、2、3，分别得到

G1=g(G2=g(G3=g(G4=gG5=g

)=g(0)=0.0091 )=g(1)=0.0042 )=g(2)=-0.0021 )=g(3)=-0.0012 )=g(4)=-0.003

我们进行多参拟合，因为三个影响因素的比重相差不多，我们不考虑层次分析简单地认为三个影响因素权重相同，为此我们引入多参变量的一次拟合方式：

g(t)=a+bx1+cx2+dx3

代入01年到04年的数据进行多参拟合得到 男女比老龄人口例 比重 1.1532 7.18202 1.1932 7.52601 1.1928 8.18121 1.69 7.86589 1.1846 8.65496 实际人口 127627 128453 130000 129227 130756 原始logistics数据 Ф 127536 0.0091 128411 0.0042 130021 -0.0021 129239 -0.0012 130759 -0.0003 2001 2002 2004 2003 2005 t 0 1 3 2 4 城镇比重 0.371655 0.387097 0.411789 0.412354 0.448427

由于假设中我们提出，男女比例，城乡比，老龄化比重等因素不会因为年代的改变而发生突变，所以我们认为这些因子都是关于时间的函数，此后我们

分别用二次拟合的方式对城镇人口比例，老龄化比例和男女比例进行二次拟合（拟合程序见附录）：

x1 =0.0022823 t^3 - 0.01251 t^2 + 0.032717 t + 0.37025 x2=0.0026833 t^3 - 0.093986 t^2 + 0.34086 t + 1.1113 x3 =0.013545 t^3 - 0.064487 t^2 + 0.40946 t + 7.1791

随后我们利用g(t)=a+bx1+cx2+dx3作为目标函数进行多参数拟合 利用

f=x(t)-

得到的表格中的数据进行拟合

得到：a，b，c，d的数值如下:

a=0.303466672

b=-0.015436071206309 c=-0.021475121184176 d=0.067720279

因此我们可以得到 g(

)= 0.303466672X1-0.01543607X2-0.021475121X3+0.067720279

代入修正因子，我们得到改进后的logistic函数：

x(t)=+

0.303466672X1-0.01543607X2-0.021475121X3+0.067720279

分别代入拟合后的三个修正因子关于t的函数关系得到最终的logistic改进模型：

x(t)=+ 0.303466672*

（0.0022823 t^3 - 0.01251 t^2 + 0.032717 t + 0.37025）-0.01543607（0.0026833 t^3 - 0.093986 t^2 + 0.34086 t + 1.1113）-0.021475121（0.013545 t^3 - 0.064487 t^2 +

0.40946 t + 7.1791）+0.067720279

利用这个函数我们重新预测短期内的人口发展如下：

表：利用logistic改进模型对未来人口预测

年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 估计值 年份 13.21323 2024 13.27887 2025 13.34071 2026 13.39893 2027 13.45372 2028 13.50524 2029 13.55367 2030 13.59918 2031 13.64192 2032 13.68204 2033 13.71968 2034 13.755 2035 13.78811 2036 13.81915 2037 13.84824 2038 13.8755 2039 13.90102 2040 13.92492 2041 估计值 年份 13.9473 2042 13.96824 2043 13.98784 2044 14.00617 2045 14.02333 2046 14.03937 2047 14.05436 2048 14.06839 2049 14.0815 2050 14.09375 2051 14.10521 2052 14.11591 2053 14.12591 2054 14.13526 2055 14.14399 2056 14.15214 2057 14.15976 2058 14.16687 2059 估计值 14.17352 14.17972 14.18552 14.19093 14.19598 14.2007 14.2051 14.20922 14.21306 14.21664 14.21998 14.22311 14.22602 14.22874 14.23128 14.23365 14.23586 14.23793

图：logistic改进模型关于总人口的预测

从图中我们可以看出，我国人口在未来的20年内平稳增长并在2030年附近达到峰值并可能长期保持这个趋势，在政策不变社会稳定的前提下，我国人口将平稳发展不会产生较大的改变。

最后我们为了检验logistic改进模型对于短期预测的准确程度，我们进行误差分析：利用已知数据和估计数据的比较来评判误差：

表:logistic改进模型与实际情况的比较

t值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 实际值 10.93 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.985 12.1121 12.2389 12.3626 12.761 12.5786 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 13 13.0756 13.1448 13.2129 13.2802 13.345 13.4091 13.7053 logistic估计值 10.99772028 11.1688678 11.33345973 11.49149303 11.64299511 11.78802123 11.92665174 12.05898946 12.18515688 12.3052936 12.41955376 12.52810363 12.63111933 12.72878471 12.82128937 12.90882689 12.9915932 13.06978511 13.14359906 13.21322995 13.27887017 13.34070878 13.39893078 13.45371651 13.50524121 误差 0.006196 0.005969 0.005595 0.00509 0.00524 0.006053 0.006324 0.006174 0.006032 0.005425 0.004607 -0.01825 0.004175 0.004299 0.004591 0.004946 0.005331 0.005368 0.0052 0.005206 0.004993 0.004556 0.004041 0.003327 -0.0146 误差百分比 0.619582 0.596867 0.559516 0.508978 0.524033 0.60528 0.632413 0.617351 0.603173 0.54248 0.460694 -1.82506 0.417529 0.429883 0.459067 0.494554 0.533118 0.536809 0.520045 0.520586 0.499286 0.455632 0.404127 0.332733 -1.45972 误差比较图线如下：

图：logistic估计值与实际值的比较

经过比较我们发现，我们的模型预测出来的人口发展状况与事情情况拟合程度较好，证明影响因子的相互关系选择正确，所以不再进行修正，认定该算法的可行性。

模型二、利用Leslie模型分类进行长期预测

一、模型的建立与求解

我们利用logistic模型的改进模型对人口发展趋势进行了预测，然而我们知道，拟合的函数在端点值附近有较好的准确性，而随着次数和预测距离的增大，数值的稳定性会产生极大波动最后失去稳定性，同时logistic模型的缺陷是只能对人口发展趋势进行预测，而不能反映出城乡镇人口分布，男女比例分布对人口变化的影响，同时我们的logistic改进模型对长期的预测也会产生较大误差，综上，我们需要另一个模型进行分类的长期预测并保证长期预测的稳定性，为此，我们引入Leslie模型，即迭代矩阵的方式进行逐年变化的递推预测。

Leslie模型的基本原理是将年龄离散化，认为人口的增长是女性的生育模式和生育年龄决定的，所以在将来的计算中，我们首先选择女性的比例作为生育率的一个计算标准，然而仅仅利用男女比例和女性人口的Leslie模型预测会产生一定的误差，所以在不对男女比例进行拟合的前提下，我们选择对男性人口重新进行一遍Leslie模型的预测，得到男女人口的确信增长数量，更准确的预测人口发展的趋势。

在模型计算的时候，我们选择女性人口的Leslie增长模型进行解释，男性人口的Leslie模型同理，故有：

记时段k第i个年龄组的人口数量为xi(k)，同时设bi为该年龄组女性个体单位时段内的生育数量，即为生育率，同时记si为该年龄段人口的存活率，存活率可由死亡率求得，设死亡率为di，在数据中已经给出。

首先，xi?k?的变化规律有以下基本事实得到：时段k+1第一年龄组女性数

量是时段k各年龄组生育之和，即：

x1(k?1)??bi?i2i1i(k)xi(k)

如果我们排除死亡的情况，那么在一个周期内第i个年龄组的成员将全部转移到i+1个年龄组，然而实际情况并非如此，如果不考虑死亡率，那么我们得到的Leslie模型会产生指数增长的效果没有阻滞效应的影响，因此这一转移过程可由存活系数所衰减.。于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：

xi?1(k?1)?sx(k),i?1,2,...,n?1

iiT

此时，我们记时段k女性按年龄组的分布向量为

x(k)??x1(k),x2(k),...xn(k)?

由生育率bi和存活率si构成的矩阵

死亡率可分为表上年龄死亡率和实际年龄死亡率。一方面，两者不能等同，而另一方面两者是接近的。死亡水平是年龄的连续函数，随着年龄不断变化。实际观察到的只能是某一时期某个年龄阶段的瞬间死亡水平M。而年龄别死亡水平Mi与年龄别存活率S(i)近似有如下关系：S(i)?e?0?S?0则R??0????0?00S1?0000?0?????000?Si?20??0?0????0??i?i?Mi;设 R为存活率矩阵，

同理，我们用B来表示出生率矩阵

?b0?0?则B??0??0??b1000b2000?????bi?2000bi?1??0?0??0???

i?i

同样，由数据，剔除2003年（非典型肺炎的影响），我们可以得到城市、镇、乡各个的年率别出生率，则可得到出生矩阵B。 Leslie所用的预测矩阵L实际上是由上面两个矩阵相加，即L＝R＋B。则有：

??0??s1?L??0??????0?...00...2bi1...bi20...0............0............0??1s0...?...............sn0????????????

那么，以上两个关系式可以表示为

x(k?1)?Lx(k),k?0,1,2,....

假设里面我们提到，社会稳定的前提条件下，我们假设的bi和si仅与年龄段有关，所以我们认为在未来相当长时间内bi和si都是稳定的。所以对于Leslie矩阵和按年龄组的初始分布向量x(0)已知的条件下，我们可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布，计算式为：

kx(k)?Lx(0),k?1,2,...

此时便能很容易地算出女性人口的总数。

由于题目附录2中的数据并没有直接给出生育率（女性出生率），我们采取如下公式进行计算：

生育率=1.8?妇女生育率?女性占总人口的比例

其中，1.8为资料【3】显示的中国的稳定状态下的临界总和生育率，总和生育率的解释见附录，那么当人口系统达到稳定时，将在相当长时间内保持这一值，这里我们选择用2001-2005（剔除2003年非典影响）的数据进行平均处理作为生育率

bi和存活率si而不考虑动态变化下的生育率bi和存活率si受到时间的影响，即

理想状态下的人口发展情况，而我们的假设与此时的简化相符。最后，我们以2005年的人口数作为初始数据x(0)。

同理，我们对男性人口进行假设，将条件中的女性存活率，死亡率进行替换，可以得到关于男性的人口变化预测，迭代形式与女性人口的Leslie模型形式完全相同，这里不作多余赘述。

综上，我们带入2005年的男性，女性城镇乡的人数，进行人口预测 得到人口总体变化数据如下（2006-2100）：

表：2006-2100中国人口发展预测（部分）

男比女 总人数 男比女 总人数 2006 1.089474 130564.6 2025 1.129237 141971.7

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024

1.090595 1.089949 1.089635 1.08959 1.089933 1.090534 1.091393 1.092441 1.093554 1.094717 1.095857 1.096986 1.09814 1.099368 1.100604 1.101935 1.103351 1.104763 131375.7 132250.1 133183.1 134161.3 135158.2 136143.2 137095.8 137983.4 138794.2 139521.4 140149.2 140686.9 141123 141459.1 141699.8 141848.7 141930.5 141964.3 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 1.129273 1.12933 1.12974 1.13048 1.13166 1.133116 1.134809 1.136649 1.138507 1.140429 1.142344 1.144314 1.14636 1.148487 1.150684 1.152968 1.1553 1.157721 141977.5 141974.7 141989.2 142026.7 142088 142173.5 142291.8 142450 142650.2 142888.9 143144.4 143414.1 143683.2 143937 144167.2 144355 144508 144630.4 这里我们同样要对模型进行验证，我们通过人口年鉴上的数据与我们预测

的到的数据进行比较，由于当前已经是2011年，我们能够通过人口年鉴查到2006-2011年的人口分布真实情况，所以我们利用现有的六年数据进行误差分析。

表：Leslie模型预测人口的误差分析表

2006 2007 2008 2009 2010 2011

真实值 131448 132129 132802 133450 134091 137053 误差 -0.00672 -0.0057 -0.00416 -0.002 0.000524 -0.01383 预测值 130564.6 131375.7 132250.1 133183.1 134161.3 135158.2 误差百分比 -0.67208 -0.57015 -0.41559 -0.20002 0.052426 -1.38254 为了更方便的分析我们的预测情况，我们同样出图进行直观比较。

图：误差分析比较图

从图中我们可以看出，我们的模型对于稳定的社会系统，保持了人口发展

的趋势，人口稳定上升，前五年的相对误差均小于1%，所以在我们的假设下，模型具有可行性，能够进行人口发展的长期预测。

于是，我们利用当前模型对人口增长进行长期预测，我们以2005年为基础年设为i=0，预测得到2006-2100年的人口增长变化，由于数据量过大，我们将图表置于附件中，详见Excel-leslie（2）——男女比例及总人口

由城镇乡的男女人口预测，我们得到一个关于不同区域的预测值，我们对市镇乡的男女人数进加和，得到未来近100年内，稳态下中国人口的发展总数及总体预测图

图：2006-2100中国人口发展趋势预测图

从图中我们可以看出，当前中国人口发展已经进入稳定状态，由于计划生育政策的提出，出生率极大降低，在人口基数一定的情况下，人口稳定增长，在2060年附近开始波动并产生一定程度人口增长速度的提高，但根据人口增长的趋势，会在100年之后不久达到峰值，此后会有一定程度的下降。

另外，由于我们分别计算了男女两性的Leslie人口增长，此时得到较为准确的男女性比例预测，如图：

图：2006-2100男女人口比例预测分析图

从图中我们可以看出，虽然我们进行了计划生育，然而由于原有男女比例基数较大等因素的影响，未来我国人口男女比例的的趋势是逐渐增加，这也一定程度上提醒相关部门在调整生育模式，降低生育率的同时要控制好男女比例，否则未来的社会发展趋势将难以控制，由于人口发展的滞后性若在2050年失去对男女比例的控制力度，我们将在未来50年内无法恢复正常的男女比例。

二、模型数据的利用

我们已经利用Leslie模型预测了未来人口的总体发展趋势，城镇乡人口各自的发展趋势，男女人口比例的发展动态等因素，此时我们可以根据数据进行分析和评价，更好的解释当下和未来我国人口的发展动向。

其中，数据和结果图置入附件leslie（2）各个工作表中： （1）老龄化趋势描述

图：我国未来老龄化趋势发展图

老龄化是指老年人口（65岁以上人口）占我国总人口的比重，老龄化程度越严重，社会负担就会相对更重一些，上图为我国未来人口老龄化趋势发展图，我们可以看到，在社会稳定的条件下，人口老龄化会在2050年达到峰值，这也是预测中人口达到峰值的一个预测点，此时人口密度达到最大，在之后人口数量开始下降最后会达到一个较为稳定的数值，城镇乡三个地区老量化情况相对相似，乡村老龄化情况更加乐观，这可能是乡村老龄化人口死亡率较为平均，导致老龄化人口分布较为平均，是峰值下降，出现峰值的年限提前。

（2）未来人口抚养比表示

图：未来我国人口抚养比（2006-2100）

抚养比又称抚养系数是指在人口当中，非劳动年龄人口对劳动年龄人口数之比：计算方法为：

总抚养比=（老龄人口+未成年人口）/劳动力人口

抚养比越大，表明劳动力人均承担的抚养人数就越多，即意味着劳动力的抚养负担就越严重。老龄人口抚养比则相对更为直接度量了劳动力的养老负担，上图为未来我国人口抚养比，因为抚养比是一个比例数值，所以城镇乡都会在产色很难过一个峰值之后迎来下降最后达到一个较为稳定的数值，图中我们可以看出，不同的地区，抚养比的稳定值是相同的，切均在2050年左右达到峰值，这也说明了2050年左右是对我与我国发展较为关键的一年，同时城镇的抚养比波动较大，这样说明了城镇的新老交替更加明显，社会化对城镇的影响更大，而总体趋势却更加倾向于农村，这从一定程度法上反映出了农村人口在我国具有相当大的比重，所以对总体的影响非常大。

（3）城镇化发展趋势的预测

图：城镇化发展趋势预测图

在讨论了抚养比和人口老龄化趋势后我们发现，即使城镇波动相对较大，更加具有我们预期的趋势，但是总体人口的几个参数表现出来的情况更加倾向于农村人口的发展趋势，我们认为这是农村人口过大的比重造成的，于是我们在第三点城镇化发展趋势进行分析和讨论得到城镇化图如上，我们发现在2040年城镇化趋势达到峰值后会有几十年的下滑后重新回升，为此我们猜测，过高的城镇化趋势，在当下社会条件下会导致资源环境的不足，城镇化的趋势导致农村土地收缩，带来大量物资，产品需求的难以满足，所以在达到缝制之后，我们在未来的某个时间段内，可能会导致一定地区的城镇化趋势倒退，以期达到一个稳定的平衡，是城镇化比例达到一个最优化的情况，保证城乡比例带来社会的最高速发展。

（4）适龄生育妇女的发展动态

我们在测算Leslie增长模型的时候，分别对男性和女性进行了计算，我们知道女性的生育模式，生育数量对未来人口的发展较之男性更加有影响力，那么随着人口男女比例的逐渐增加，适龄生育妇女的数量是否会产生一定的改变，我们队适龄妇女的发展动态进行模拟，得到曲线图如下。

我们发现，适龄生育妇女的发展呈一定的波动状态，而这种波动状态虽然有一定的发展趋势，但是仍然十分平稳，这也说明了适龄生育妇女的比例对人口发展并不敏感，而城市和城镇女性的适龄生育比例基本不产生波动，这也说明了社会化程度越高，各种条件完备的情况下，适龄妇女人数稳定缓慢变化。

图：未来我国育龄妇女人数变化

四、模型的总结讨论

模型一：

Logistic改进模型能够很好的预测短期内的人口变化，表现出人口发展的阻滞现象，同时引入社会发展问题中产生的几个主要因素，集合了社会、环境对人口发展的影响，同时利用给出的算法，我们能够任意拟合出我们需要的影响因素对人口发展的影响，产生预测模型，这是logistic改进模型简便有效的地方，但是由于logistic改进模型引进最小二乘拟合的方式去估算影响因素和人口峰值，导致了数值在短期内具有稳定性，然而，拟合数据的缺陷是，当时间足够长后，波动越来越大逐渐失稳，所以我们的logistic改进模型只能够对短期的人口发展进行较为详尽的预测。

改进：我们采用了拟合的方式对人口峰值，人口增长率，以及影响因素方程进行估算，我们可以改用其他方式，放弃拟合方式而采用更加合理的准确估算方式，经过稳定性检验，可以保证改进模型对长期预测的准确性。

模型二：

Leslie模型的特点是可以用矩阵迭代的方式逐步求解各年的人口数量，通过生存率和死亡率的变动逐步求解，可以保证人口变化的稳定性和长期预测的准确性，然而我们计算的矩阵过于庞大，动态化模型的计算是普通计算机不能计算的，所以我们只能用平均数来代替生存率和死亡率，这就导致了波动变化不会受到其他因素的影响，仅仅与人口基数与人口增长模式有关，所以我们得到的人口发展趋势是稳定并且逐渐上升的，没有预测到峰值，这也是Leslie模型的缺陷之处。

然而我们在后期的模型应用中，也发现了Leslie模型可以应用于评价人口发展的趋势，这也是Leslie模型横向发展的应用。

改进：我们在计算中选择的Lesilie模型，由于出生率和死亡率的固定化，我们无法用动态模型的方法计算人口增长，所以在计算能力允许的情况下，我们可以对出生率和死亡率进行拟合预测用动态模型的方法预测，能够保证人口发展趋势产生阻滞效果产生峰值和变化区间。

五、参考文献

1.《数学模型》第四版姜启源高等教育出版社

2.《基于logistic模型的中国人口增长预测》王志福等渤海大学学报 3.百度百科关于总和出生率及总和出生率的解释 http://baike.http://www.32336.cn//view/1163409.htm

附录

1.计算logistic原始模型参数

clc clear

xdata=[1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ];

ydata=[11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.761 12.5786 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 13.0000 13.0756 ];

x0=[15,-1];

[x,resnorm]=lsqcurvefit(@a,x0,xdata,ydata); %计算常数系数过程

2.logistic改进模型影响因子的拟合算法

x1=[0.371655119,0.387096877,0.412354482,0.411789492,0.44842738]; x2=[1.1532,1.1932,1.69,1.1928,1.1846];

x3=[7.18202,7.52601,7.86589,8.18121,8.65496]; t=[0,1,2,3,4];

p1=polyfit(t,x1,3); p2=polyfit(t,x2,3); p3=polyfit(t,x3,3); f1=poly2str(p1,'t'); f2=poly2str(p2,'t'); f3=poly2str(p3,'t');

3.logistic改进模型多参拟合程序

n=5;m=3;

y=[0.0091,0.0042,-0.0021,-0.0012,-0.0003];

x1=[0.371655119,0.387096877,0.412354482,0.411789492,0.44842738]; x2=[1.1532,1.1932,1.69,1.1928,1.1846];

x3=[7.18202,7.52601,7.86589,8.18121,8.65496]; X=[ones(n,1), x1',x2',x3']; [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); s2=sum(r.^2)/(n-m-1); b;bint;s;s2; rcoplot(r,rint)

4.利用logistic改进模型对人口的预测程序

function y2=renshu6(~) t=0:100;

y2=14.1990396292082./(1+(14.1990396292082./10.9300-1).*exp((-0.069311514967144).*t))+ 0.067720279062269;

+0.303466672019969.*(0.0022823.* (t).^3 - 0.01251.* (t).^2 + 0.032717.* t +

0.37025) -0.015436071206309.*(0.0026833 .*(t).^3 - 0.093986.* t.^2 + 0.34086.* t + 1.1113);

-0.021475121184176.*(0.013545.* (t).^3 - 0.064487.*(t).^2 + 0.40946.* t + 7.1791); plot(t,y2)

clf % 清空图形框。

a=14.1990396292082;

b=0.069311514967144;

y0=11.5823; 91年的人口数，即人口初始值。 x=1991:0.1:2089; %绘图范围

y=a./(1+(a./10.9300-1).*exp((-b).*(x-1987))); %logistic增长函数 plot(x,y);

xlabel('年龄 x') %标记x轴表示内容 ylabel('总人口数 y') %标记y轴表示内容 title('总人口数随时间的变化') %标记标题 hold on

x=1980:5:2120; y=a;

plot(x,y,'r.','MarkerSize',5) %标出极值线

5.Lesilie模型的人口迭代矩阵程序

function daixieles(l1,l2,l3,x0,y0,z0) s1=zeros(91,95); s2=zeros(91,95); s3=zeros(91,95); for i=1:95 s1(:,i)=l1*x0; s2(:,i)=l2*y0; s3(:,i)=l3*z0; x0=s1(:,i);

y0=s2(:,i); z0=s3(:,i); end

6.关于总和出生率的解释

总和生育率（TFR）指假设妇女按照某一年的年龄别生育率度过育龄期，平均每个妇女在育龄期生育的孩子数。 点击此处添加图片说明 总和生育率将特定时点上全体妇女的生育率综合起来，以一个数字来表示。实际上，它就是假设一个妇女在整个育龄期都按照某一年的年龄别生育率生育，她所生育孩子的总数。