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的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，， C?CB1CA1UCB2CA2P(C)?P(CB1CA1?CB2CA2)?P(CB1CA1)?P(CB2CA2)?P(CB1)P(CA1)?P(CB2)P(CA2)，
由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为故P(CA1)?
（2014·新课标Ⅰ，18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
164108,,,， 20202020164108164108，P(C)?,P(CA2)?,P(CB1)?,P(CB2)?????0.48
2020202020202020
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(?,?2)，其中?近似为样本平均数x，?近似为样本方差s.
(i)利用该正态分布，求P(187.8?Z?212.2)；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：150≈12.2.
2若Z～N(?,?)，则P(????Z????)=0.6826，P(??2??Z???2?)=0.9544.
222解析：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s分别为
2x?170?0.02?180?0.09?190?0.22?200?0.33?210?0.24?220?0.08?230?0.02?200222
s2???30??0.02???20??0.09???10??0.22?0?0.33??10??0.24??20??0.08??30??0.02222
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?150 ????6分
（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～N(200,150)，从而
P(187.8?Z?212.2)?P(200?12.2?Z?200?12.2)?0.6826 ??????9分
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意知X?B(100,0.6826)，所以EX?100?0.6826?68.26 ???12分
（2014·新课标Ⅱ，19）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
n?? 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b??t?t??y?y?iii?1??ti?t?i?1n?. ，a??y?bt2解析：（Ⅰ）由题意得：t?4，y?2.9?3.3?3.6?4.4?4.8?5.2?5.9?4.3，
7??(?3)?(?1.4)?(?2)?(?1)?(?1)?(?0.7)?0?0.1?1?0.5?2?0.9?3?1.6?0.5， ∴b(?3)2?(?2)2?(?1)2?02?12?22?32??4.3?0.5?4?2.3，故所求线性回归方程为：y??0.5t?2.3. ??y?bt∴a（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程的斜率k?0.5?0可知，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加．令t?9得：?y?0.5?9?2.3?6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。
（2013·新课标Ⅰ，19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4
件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为
1，且各件产品是否为优质2品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望． 解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以
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41113????. 161616264141111??，(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1?P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.
416161616P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝所以X的分布列为
X P EX＝400? （2013·新课标Ⅱ，19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T表示为x的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率； 0.030 0.025 0.020 0.015 400 500 800 11 161 161 41111+500?+800?＝506.25. 16164频率/组距 0.010 O 100 110 120 130 140 150 需求量/t
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100, 110)，则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100, 110)的概率），求利润T的数学期望. 解析：（Ⅰ）当x∈[100,130)时，T＝500x-300(130-x)＝800x-39 000，当x∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以T???800x?39000,100?x?130.
65000,130?x?150?（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为
T P 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
（2012·新课标Ⅰ，18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n?N）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），
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求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。 解析：（1）当n?16时，y?16?(10?5)?80；
当n?15时，y?5n?5(16?n)?10n?80。 得：y???10n?80(n?15)(n?N)。
(n?16)?80 （2）①X可取60，70，80。
P(X?60)?0.1，P(X?70)?0.2，P(X?80)?0.7。 X的分布列为
X P 60 0.1 70 80 0.2 0.7 EX?60?0.1?70?0.2?80?0.7?76， DX?162?0.1?62?0.2?42?0.7?44。
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花。理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为
X P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y的数学期望为EY?55?0.1?65?0.2?75?0.16?85?0.54?76.4，
Y的方差为
DY?(55?76.4)2?0.1?(65?76.4)2?0.2?(75?76.4)2?0.16?(85?76.4)2?0.54
?112.04，
由以上的计算结果可以看出，DX?DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小。 另外，虽然EX?EY，但两者相差不大。故花店一天应购进16枝玫瑰花。 答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花。理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为
X P 55 0.1 65 75 85 0.2 0.16 0.54 Y的数学期望为EY?55?0.1?65?0.2?75?0.16?85?0.54?76.4，
由以上的计算结果可以看出，EX?EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝玫瑰