考点34 离散型随机变量的均值与方差（理）

【高考再现】

热点一、频率分布直方图的绘制与应用

1．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视

情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2?2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).

n(n11n22?n12n21)2,附:??n1?n2?n?1n?22

【解析】

(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如

下:

由2×2列联表中数据代入公式计算,得:

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为

1,由题意, 4,从而X的分布列为:

2．（2012

年高考（广东理））(概率统计)某班

50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:?40,50?、?50,60?、?60,70?、?70,80?、

?80,90?、?90,100?.

(Ⅰ)求图中x的值;

(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选

取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为?,求?的数学期望.

3．（2012年高考（安徽理））甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶

形统计图如图所示,则

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选C

5次,两人成绩的条

（ ）

11x甲?(4?5?6?7?8)?6,x乙?(5?3?6?9)?6

5511甲的成绩的方差为(22?2?12?2)?2,乙的成绩的方差为(12?3?32?1)?2.4

55

【方法总结】

频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法． 热点二、茎叶图的应用

1．（2012年高考（陕西理））从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进

行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙,中位数分别为m甲,m乙,则

A． x甲?x乙,m甲?m乙 B．x甲?x乙,m甲?m乙 C．x甲?x乙,m甲?m乙 D．x甲?x乙,m甲?m乙

（ ）

热点三、离散型随机变量的均值与方差

1．（2012年高考（上海理））设10?x1?x2?x3?x4?104,x5?105. 随机变量?1取值x1、

x2、x3、x4、x5的概率均为0.2,随机变量?2取值

x1?x22、

x2?x32、x3?x42、x4?x52、

x5?x12的概率也为0.2. 若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差,则

（ ）