第三章 逻辑代数基础 作业题(参考答案) - 图文 下载本文

第三章 逻辑代数基础 (Basis of Logic Algebra)

1.知识要点

逻辑代数(Logic Algebra)的公理、定理及其在逻辑代数化简时的作用;逻辑函数的表达形式及相互转换;最小项(Minterm)和最大项(Maxterm)的基本概念和性质;利用卡诺图(Karnaugh Maps)化简逻辑函数的方法。

重点:

1.逻辑代数的公理(Axioms)、定理(Theorems),正负逻辑(Positive Logic, Negative Logic)的概念与对偶关系(Duality Theorems)、反演关系(Complement Theorems)、香农展开定理,及其在逻辑代数化简时的作用;

2.逻辑函数的表达形式:积之和与和之积标准型、真值表(Truth Table)、卡诺图(Karnaugh Maps)、最小逻辑表达式之间的关系及相互转换;

3.最小项(Minterm)和最大项(Maxterm)的基本概念和性质;

4.利用卡诺图化简逻辑函数的方法。 难点:

利用卡诺图对逻辑函数进行化简与运算的方法

(1)正逻辑(Positive Logic)、负逻辑(Negative Logic)的概念以及两者之间的关系。 数字电路中用电压的高低表示逻辑值1和0,将代数中低电压(一般为参考地0V)附近的信号称为低电平,将代数中高电压(一般为电源电压)附近的信号称为高电平。以高电平表示1,低电平表示0,实现的逻辑关系称为正逻辑(Positive Logic),相反,以高电平表示0,低电平表示1,实现的逻辑关系称为负逻辑(Negative Logic),两者之间的逻辑关系为对偶关系。

(2)逻辑函数的标准表达式

积之和标准形式(又称为标准和、最小项和式):每个与项都是最小项的与或表达式。 和之积标准形式(又称为标准积、最大项积式):每个或项都是最大项的或与表达式。

逻辑函数的表达形式具有多样性,但标准形式是唯一的,它们和真值表之间有严格的对应关系。

由真值表得到标准和的具体方法是:找出真值表中函数值为1的变量取值组合,每一组变量组合对应一个最小项(变量值为1的对应原变量,变量值为0的对应反变量),将这些最小项相或,即得到标准和表达式。

由真值表得到标准积的具体方法是:找出真值表中函数值为0的变量取值组合,每一组变量组合对应一个最大项(变量值为1的对应反变量,变量值为0的对应原变量),将这些最大项相与,即得到标准积表达式。

每个真值表所对应的标准和与标准积表达方式是唯一的。

(3)利用卡诺图化简逻辑函数

卡诺图是真值表的图形表示,利用卡诺图对逻辑函数进行化简的原理是反复使用公式AB+AB′=A,对应到卡诺图上,即为相邻的小方格可以合并。通常:

2个相邻的方格可以合并,并可消去1个变量;4个相邻的方格可以合并,并可消去2个变量;8个相邻的方格可以合并,并可消去3个变量……

在相邻方格合并的过程中,通常采用画圈的方法进行标记。

利用卡诺图化简,圈1的结果是得到最简和的表达式,圈0的结果是得到最简积的表达式。 利用卡诺图化简的步骤(以最简和为例): ① 填卡诺图;

② 找出全部质主蕴含项;

③ 找到奇异1单元,圈出对应的质主蕴含项;

④ 若未圈完所有1方格,则从剩余的主蕴含项中找出最简的;

⑤ 写出各圈所对应的与项表达式(取值发生变化的变量不写,取值无变化的变量保留,取值为0写反变量,取值为1写原变量)。

⑥ 将所得到的与项相或,即为化简结果。

化简的原则是:圈1不圈0,1至少圈1次,圈数越少越好,圈越大越好。 (4)利用卡诺图对逻辑函数进行运算

利用卡诺图可以完成逻辑函数的逻辑加(或)、逻辑乘(与)、反演(非)、异或等运算。进行这些运算时,要求参加运算的两个卡诺图具有相同的维数(即变量数相同)。

① 卡诺图相加

两函数做逻辑加(或)运算时,只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑加的规则相或,而得到的卡诺图应包含每个相加卡诺图所出现的全部1项。

② 卡诺图相乘

两函数做逻辑乘(与)运算时,只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑乘的规则相与,所得到的卡诺图中的1方格,是参加相乘的卡诺图中都包含的1格。

③ 反演

卡诺图的反演(非),是将函数F的卡诺图中各个为1的方格变换为0,将各个为0的方格变换为1。 ④ 卡诺图异或

两函数做异或运算,只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按异或运算的规则进行运算,所得到的卡诺图中的1方格,是进行异或运算的卡诺图中取值不同的方格。

2.Exercises

3.1 Prove theorems (X+Y)(X+Z) = X+Y·Z using perfect induction.

If X = 0, Left = (0+Y)(0+Z) = Y·Z Right = 0+ Y·Z = Y·Z ∴ Left = Right If X = 1, Left = (1+Y)(1+Z) = 1·1 = 1 Right = 1+ Y·Z = 1 ∴ Left = Right

3.2 According to DeMorgan’s theorem, the complement of WX+YZ is W′+X′Y′+Z′. Yet both functions are 1 for WXYZ = 1110. How can both a function and its complement be 1 for the same input combination? What’s wrong here?

The mistake is that the original operation priority has been changed. The complement of WX+YZ should be (W′+X′)(Y′+Z′)

3.3 Use the theorems of switching algebra to simplify each of the following logic functions: (1) F = WXYZ(WXYZ′+WX′YZ+W′XYZ+WXY′Z) (2) F = AB+ABC′D+ABDE′+ A′BC′E+A′B′C′E (3) F = MRP+ QO′R′+MN+ONM+QPMO′

(1) F = W·X·Y·Z·(W·X·Y·Z'+W·X'·Y·Z+W'·X·Y·Z+W·X·Y'·Z)

= W·X·Y·Z·W·X·Y·Z'+ W·X·Y·Z·W·X'·Y·Z+ W·X·Y·Z·W'·X·Y·Z+ W·X·Y·Z·W·X·Y'·Z

= 0

(2) F = A·B·(1+C'·D+D·E') + A'·C'·E·(B+B') = A·B + A'·C'·E

(3) F = M·R·P + Q·O'·R' + M·N + Q·P·M·O' = M·P·R + Q·O'·R' + M·P·Q·O' + M·N = M·P·R + Q·O'·R' + M·N

3.4 Write the truth table for each of the following logic functions: (1) F = AB′+B′C+CD′+CA′ (2) F = (A′+B+C′)(A′+B′+D)(B+C+D′)(A+B+C+D) (3) F = AB+AB′C′+A′BC (4) F = XY′+YZ+Z′X (1) A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 (2) A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 (3) A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1 1 0 1 1 (4) X 0 0 0 0 1 1 1 1 Y 0 0 1 1 0 0 1 1 Z 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1 1 1 1 1

3.5 Write the canonical sum and product for each of the following logic functions:

?(3) F =?(1) F ??

X,Y(1,2) (1,2,5,6)

(2) F =

?

A,B(0,1,2)

A,B,C,D(4) F = A′B+B′C+A

(1) F = ∑X,Y (1,2) = X'·Y+X·Y'

= ∏X,Y (0,3) = (X+Y)·(X'+Y')

(标准和)

(标准积) (标准积)

(标准和)

(2) F = ∏A,B (0,1,2) = (A+B)·(A+B')·(A'+B)

= ∑A,B (3) = A·B

(3) F = ∑A,B,C,D (1,2,5,6) = A'·B'·C'·D + A'·B'·C·D' + A'·B·C'·D + A'·B·C·D' (标准和)

= ∏A,B,C,D (0,3,4,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

= (A+B+C+D)·(A+B+C'+D')·(A+B'+C+D)·(A+B'+C'+D')·(A'+B+C+D)·(A'+B+C+D')·(A'+B+C'+D)

(A'+B+C'+D')·(A'+B'+C+D)·(A'+B'+C+D')·(A'+B'+C'+D)·(A'+B'+C'+D') (标准积)

(4) F = A'·B+B'·C+A = A'·B·(C+C')+(A+A')·B'·C+A·(B+B')·(C+C') = A'·B·C+A'·B·C'+A·B'·C+A'·B'·C+A·B·C+A·B·C'+A·B'·C+A·B'·C' = A'·B·C+A'·B·C'+A·B'·C+A'·B'C+A·B·C+A·B·C'+A·B'C' F = A'·B+B'·C+A = A+B+C (标准积)

3.6 If the canonical sum for an n-input logic function is also a minimal sum, how many literals are in each product term of the sum? Might there be any other minimal sums in this case?

(标准和)

若某函数的标准和也是最小和,说明其卡诺图中的1都不相邻,无法合并。 此时,标准和 = 最小和 = 完全和,其和式中的乘积项必有n个变量,无法化简。

3.7 Using Karnaugh maps, find a minimal sum-of-products expression for each of the following logic functions. Indicate the distinguished 1-cells in each map.

?(3) F =?(1) F = (1)

F =

XY Z 0 1 X,Y,Z(1,3,5,6,7)

W,X,Y,Z(1,4,5,6,11,12,13,14)

? (4) F =? (2) F =

A,B,C,DA,B,C(4,5,6,13,15)

(1,2,6,7)

? X,Y,Z(1,3,5,6,7)

11 1 1 10 1 00 01 1 1

F = X·Y+Z (图中灰色块为奇异1单元) (2)

F =

AB ? A,B,C,D(4,5,6,13,15)

10 00 CD 00 01 11 10 01 0 0 0 11 0 0 F = B+ A·D'+A'·C·D (图中灰色块为奇异1单元) (3)

F = (4)

F =

AB C 0 1 ?W,X,Y,Z(1,4,5,6,11,12,13,14)

01 1 1 1 11 1 1 1 10 1 YZ 00 01 11 10 WX 00 1 F = XY’+XZ’+W’Y’Z+WX’YZ (图中灰色块为奇异1单元)

? 0 A,B,C(1,2,6,7)

11 0 0 10 00 01 0

F = AB’+B’C’+A’BC (图中灰色块为奇异1单元)