§9.3 圆的方程
最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 考情考向分析 以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.
圆的定义与方程
定义 标准式 方程 一般式 2平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 (x－a)＋(y－b)＝r(r>0) 22圆心为(a，b) 半径为r 充要条件：D＋E－4F>0 22x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0 22圆心坐标：?－，－? 2??2122半径r＝D＋E－4F 2?DE?
知识拓展
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1．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组． (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．
已知圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)＋(y0－b)＝r； (2)点在圆外：(x0－a)＋(y0－b)>r； (3)点在圆内：(x0－a)＋(y0－b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－ y2)＝0.( √ ) (3)方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D＋E－4AF>0.( √ ) (4)方程x＋2ax＋y＝0一定表示圆．( × ) (5)若点M(x0，y0)在圆x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( √ ) (6)方程(x＋a)＋(y＋b)＝t(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × ) 题组二 教材改编 2．[P132A组T3](2018·南昌模拟)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( ) A．(x－3)＋(y＋1)＝1 B．(x－3)＋(y－1)＝1 C．(x＋3)＋(y－1)＝1 D．(x＋3)＋(y＋1)＝1 答案 A 3．[P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_______． 答案 (x－2)＋y＝10 解析 设圆心坐标为C(a,0)， 2 / 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|， 即?a＋1?＋1＝?a－1?＋9， 解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝?2＋1?＋1＝10， ∴圆C的方程为(x－2)＋y＝10. 题组三 易错自纠 4．若方程x＋y＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B 2 2 2 2 2 2 2 m?m?22 解析 将x＋y＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得?x＋?＋(y－1)＝－2. 4?2? 2 2 2 由其表示圆可得－2>0，解得m<－22或m>22. 4 5．若点(1,1)在圆(x－a)＋(y＋a)＝4的内部，则实数a的取值范围是( ) A．－1 解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a)＋(a＋1)<4，即－1 6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A．(x－2)＋(y－1)＝1 B．(x－2)＋(y＋1)＝1 C．(x＋2)＋(y－1)＝1 D．(x－3)＋(y－1)＝1 答案 A 解析 由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m2 B．0 3 / 16 ∴ |4a－3|1 ＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)． 52 2 2 ∴圆的标准方程为(x－2)＋(y－1)＝1. 故选A. 题型一 圆的方程 典例 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为__________． 答案 (x－3)＋y＝2 解析 方法一 由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.① 过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，② ??x＝3，联立①②，解得? ?y＝0，? 2 2 22 所以圆心坐标为(3,0)， 半径r＝?4－3?＋?1－0?＝2， 所以圆C的方程为(x－3)＋y＝2. 方法二 设圆方程为(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)， 因为点A(4,1)，B(2,1)都在圆上， ???4－a?＋?1－b?＝r， 故?222 ??2－a?＋?1－b?＝r，? 2 2 2 2 2 2 2 2 又因为 b－1 ＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝2， a－2 2 2 故所求圆的方程为(x－3)＋y＝2. (2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为______________． 答案 x＋y－2x－4y－8＝0或x＋y－6x－8y＝0 解析 设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)， 将P，Q两点的坐标分别代入得 ??2D－4E－F＝20，①? ?3D－E＋F＝－10. ②? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又令y＝0，得x＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)－4x1x2＝36， 2 4 / 16