§9.3 圆的方程

最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 考情考向分析 以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.

圆的定义与方程

定义 标准式 方程 一般式 2平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 (x－a)＋(y－b)＝r(r>0) 22圆心为(a，b) 半径为r 充要条件：D＋E－4F>0 22x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0 22圆心坐标：?－，－? 2??2122半径r＝D＋E－4F 2?DE?

知识拓展

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1．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．

(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组． (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．

已知圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)＋(y0－b)＝r； (2)点在圆外：(x0－a)＋(y0－b)>r； (3)点在圆内：(x0－a)＋(y0－b)

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题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－

y2)＝0.( √ )

(3)方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D＋E－4AF>0.( √ )

(4)方程x＋2ax＋y＝0一定表示圆．( × )

(5)若点M(x0，y0)在圆x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( √ ) (6)方程(x＋a)＋(y＋b)＝t(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × ) 题组二 教材改编

2．[P132A组T3](2018·南昌模拟)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )

A．(x－3)＋(y＋1)＝1 B．(x－3)＋(y－1)＝1 C．(x＋3)＋(y－1)＝1 D．(x＋3)＋(y＋1)＝1 答案 A

3．[P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_______． 答案 (x－2)＋y＝10 解析 设圆心坐标为C(a,0)，

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∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|，

即?a＋1?＋1＝?a－1?＋9， 解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)，

半径|CA|＝?2＋1?＋1＝10， ∴圆C的方程为(x－2)＋y＝10. 题组三 易错自纠

4．若方程x＋y＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B

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m?m?22

解析 将x＋y＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得?x＋?＋(y－1)＝－2.

4?2?

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由其表示圆可得－2>0，解得m<－22或m>22.

4

5．若点(1,1)在圆(x－a)＋(y＋a)＝4的内部，则实数a的取值范围是( ) A．－11或a<－1 答案 A

解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a)＋(a＋1)<4，即－1

6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A．(x－2)＋(y－1)＝1 B．(x－2)＋(y＋1)＝1 C．(x＋2)＋(y－1)＝1 D．(x－3)＋(y－1)＝1 答案 A

解析 由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，

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m2

B．0

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∴

|4a－3|1

＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)． 52

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∴圆的标准方程为(x－2)＋(y－1)＝1. 故选A.

题型一 圆的方程

典例 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为__________． 答案 (x－3)＋y＝2

解析 方法一 由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①

过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②

??x＝3，联立①②，解得?

?y＝0，?

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所以圆心坐标为(3,0)，

半径r＝?4－3?＋?1－0?＝2， 所以圆C的方程为(x－3)＋y＝2.

方法二 设圆方程为(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)， 因为点A(4,1)，B(2,1)都在圆上，

???4－a?＋?1－b?＝r，

故?222

??2－a?＋?1－b?＝r，?

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又因为

b－1

＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝2， a－2

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故所求圆的方程为(x－3)＋y＝2.

(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为______________．

答案 x＋y－2x－4y－8＝0或x＋y－6x－8y＝0

解析 设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)， 将P，Q两点的坐标分别代入得

??2D－4E－F＝20，①?

?3D－E＋F＝－10. ②?

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又令y＝0，得x＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)－4x1x2＝36，

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