常青藤实验中学2013届高三数学研究性学习系列专题（思维提升·能力拓展）
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??4??练习：设?为锐角，若cos?????，则sin(2??)的值为 ______
6?512?专题3：一类与三角函数图像有关的参数取值问题 引例1：（教L23基7）有一种波，其波形为函数y?sin?2x的图像，若在区间?0,t?上至
少有2个波峰（图像的最高点），则正整数t的最小值为_________ 引例2：已知f(x)?sin(?x??)(??0),f()?f()，且f(x)在区间(,)有最小36363????值，无最大值，则?＝_________. 练习：
1.已知函数y?2cos2???
则正整数?x?2sin?xcos?x(??0)在区间?0,?上是单调函数，
8??
34k的值为_______
2.函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)是R上的偶函数，其图像关于点M(?,0) 对称，且在区间?0,
专题4：平面向量中的算两次思想 引例：
???
上是单调函数，求?和?的值 ??2?
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练习：在?ABC中，点D,E分别在边BC、AC上，且BD?11BC,CE?CA，AD与43BE交于R点，求
RDRE及的值 ADBE思考：算两次思想在整个高中数学教学和解题中有哪些部分还有涉及？至少说出两处. 练习（理科做）：我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法—算两次（G?Fubini原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高。请结合二项式定理，利用等式(1?x)(1?x)?(1?x)证明：（1）
专题5：平面向量中一类向量系数和的取值范围问题 引例1：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为
nn2n(n?N*)，
?(Cr?0nrnrm?rm（2）?(CnCn)?C2n )?C；2n2nr?0n????????????圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC??DE??AP，
则???的最小值为
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常青藤实验中学2013届高三数学研究性学习系列专题（思维提升·能力拓展） 引例2.A,B,C是圆上三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若
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OC?mOA?nOB，则m?n的取值范围是_______
练习：
1.（2009年全国高中数学联赛湖北省预赛题）已知O为锐角三角形?ABC的外心，
AB?6,AC?10，若AO?xAB?yAC，且2x?10y?5，则cos?BAC?_____
2.在梯形ABCD中，DA=AB=BC=
1CD=1.点P在阴影区域（含边2BD的取值范围是 . 界）中运动，则AP·3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向OA?a,OB?b,其中a?(3,1),b?(1,3).若
OC??a??b,0?????1且?,??0，C点所有可能的位置区域的面积为 ．
?????????????4. 若?ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA?4OB?5OC?0，则该?ABC的面积为
专题6：平面向量中坐标法的运用举例与坐标法在解题中的应用 引例1：在梯形ABCD中，AD//BC，?ABC??3，AD?1，BC?2，P是腰AB所
在直线上的动点，则3PC?2PD的最小值为___________
引例2：（2012南京一模）在面积为2的?ABC中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则PC?PB?BC的最小值是______________
练习：如图，梯形ABCD中，AD//BC,AD?AB,AD?1,BC?2,AB?3，
C
2P是AB上的一个动点，?CPB??,?DPA??
(Ⅰ) 当PD?PC最小时，求tan?DPC的值； (Ⅱ) 当?DPC??时，求PD?PC的值.
D A
B
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P
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常青藤实验中学2013届高三数学研究性学习系列专题（思维提升·能力拓展） 拓展：坐标法在解题中的应用
1. 设关于? 的方程3cos??sin??a?0在区间?0,?? 内有相异的两个实根?,? 则实数a的取值范围是
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2. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d?0，且sp?sq(p?q), 则sp?q? 3. 满足条件AB?2,AC?2BC的三角形ABC的面积的最大值是 ．
4. 如图在矩形ABCD中，已知AB?4，BC?2，M,N,P分别为矩形边DA，AB，BC上的中点，Q是边CD上的点，
?????????且CQ?3QD，则MQ?NP的值为__________．
5.如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，
AB?BC?2，过动点P作半圆的切线PQ．若
，则?PAC的面积的最大值为_______ PC?2PQ
6．在边长为1的正三角形纸片ABC的边AB,AC上分别取D,E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC上（设为P），在这种情况下，求AD的最小值．
A
E
DP
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