【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念

与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值 文

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 定 义 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 是减函数 1

图象描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 自左向右看图象是下降的 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 条件 结论 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，

设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得 对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0) 对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) f(x0)为最大值 f(x0)为最小值 x2”．( × )

(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．( √ )

(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) 1

(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )

x(5)所有的单调函数都有最值．( × )

(6)对于函数y＝f(x)，若f(1)

2

12x1．下列函数中，①y＝－x；②y＝x－x；③y＝ln x－x；④y＝e－x，在区间(0，＋∞)内

x单调递减的是__________． 答案 ①

11

解析 对于①，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－xxx在(0，＋∞)内是减函数；②，③，④函数在(0，＋∞)上均不单调．

2．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________． 答案 －6

解析 由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.

223．设函数y＝x－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.

??a－2a，－2≤a<1，

答案 ?

?－1，a≥1?

2

2

2

aa

2

解析 ∵函数y＝x－2x＝(x－1)－1， ∴对称轴为直线x＝1.

当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减， 则当x＝a时，ymin＝a－2a；

当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增， 则当x＝1时，ymin＝－1.

??a－2a，－2≤a<1，综上，g(a)＝?

?－1，a≥1.?

2

2

4．(教材改编)已知函数f(x)＝

2

，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为x－1

3

________． 2

答案 2

5

解析 可判断函数f(x)＝2. 5

5．(教材改编)已知函数f(x)＝x－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)

解析 函数f(x)＝x－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

2

2

2

在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝x－1

由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．

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