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(1)证明:EF⊥BC;

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

【解析】方法一:

(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点, 所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1, 平面A1ACC1∩平面ABC=AC, 所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.

(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.

由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角). 不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2

,EG=.

由于O为A1G的中点,故EO=OG=,

所以cos∠EOG=.

因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.

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方法二:

(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1, 平面A1ACC1∩平面ABC=AC, 所以,A1E⊥平面ABC.

如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1 为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz. 不妨设AC=4,则A1(0,0,2

),B(

,1,0),B1(

,3,2

),

F,2,C(0,2,0).

因此,

=,2,=(-,1,0).

由=0得EF⊥BC.

(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ. 由(1)可得

=(-,1,0),=(0.2,-2).

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).

由取n=(1,

,1),

故sin θ=|cos<·n>|=.

因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为.

7.(2019·全国1·理T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE;

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(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

【解析】(1)连接B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以ME∥B1C,且ME= B1C.

又因为N为A1D的中点,所以ND= A1D. 由题设知A1B1??DC,可得B1C??A1D, 故ME??ND,

因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED. 又MN?平面EDC1,所以MN∥平面C1DE. (2)由已知可得DE⊥DA. 以D为坐标原点,则

的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,

,0).

,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,,-2),=(-1,0,-2),=(0,-

设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,

则

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所以可取m=(,1,0).

设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,

则

所以可取n=(2,0,-1).

于是cos=,

所以二面角A-MA1-N的正弦值为.

8.(2019·全国2·理T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1;

(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

【解析】(1)证明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1. (2)解由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°, 故AE=AB,AA1=2AB. 以D为坐标原点,

的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, =(1,0,0),

=(1,-1,1),

=(0,0,2).

则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则

所以可取n=(0,-1,-1).

设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则

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