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由取m=(
,0,-1);
由
取n=(3,-2,
).
于是,cos
所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.
28.(2016·全国3·理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明:MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【解析】(1)证明由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN??AM,
四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT. 因为AT?平面PAB,MN?平面PAB, 所以MN∥平面PAB.
(2)解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,
且AE=以A为坐标原点,
.
的方向为x轴正方向,
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建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,
,2,0),N=(0,2,-4),.设
则
可取n=(0,2,1).
于是|cos
29.(2015·全国2·理T19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图: (2)作EM⊥AB,垂足为M, 则AM=A1E=4,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 以D为坐标原点,
的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),
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=(10,0,0),=(0,-6,8).
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设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,
则所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),
故|cos
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.
30.(2015·上海·理T19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是棱AB,BC的中点.证明
A1,C1,F,E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.
【解析】如图,以
D为原点建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为
A1(2,0,1),C1(0,2,1),E(2,1,0),F(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1).
因为所以
=(-2,2,0),=(-1,1,0),
,因此直线A1C1与EF共面,
即A1,C1,F,E四点共面.
设平面A1C1FE的法向量为n=(u,v,w), 则n⊥又
,n⊥
,
=(-1,1,0),=(-1,0,1),
故解得u=v=w.
取u=1,得平面A1C1FE的一个法向量n=(1,1,1).
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又=(0,-2,1),故=-.
因此直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小为arcsin.
31.(2015·北京·理T17)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点. (1)求证:AO⊥BE;
(2)求二面角F-AE-B的余弦值; (3)若BE⊥平面AOC,求a的值.
【解析】(1)证明因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点, 所以AO⊥EF.
又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO?平面AEF, 所以AO⊥平面EFCB,所以AO⊥BE. (2)解取BC中点G,连接OG. 由题设知EFCB是等腰梯形, 所以OG⊥EF.
由(1)知AO⊥平面EFCB, 又OG?平面EFCB,所以OA⊥OG.
如图建立空间直角坐标系O-xyz,则E(a,0,0),A(0,0,
a),
B(2,(2-a),0),=(-a,0,a),=(a-2,(a-2),0).
设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),
则
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