6.1平方根——算术平方根

学习目标 1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性。2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根。

重点 了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根。 难点 理解算术平方根的双重非负性。 学习过程 ［探究研讨］

【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 ？ 正方形的面积 边长 1 9 16 36 4 35 这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题 自学教材，回答问题：

1. 一般地，如果一个___ 数x的平方等于a，即x?a，那么这个______叫做a的_________．a的算术平方根记为 a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0. 记作 0= 2.由以上定义可知如果x =a，那么x就叫a的算术平方根吗？

3.判断下列语句是否正确？

①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ） ③0.01是0.1的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ）

4. 3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下 。

2

5.试一试：你能根据等式：12 =144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 【活动2】例：求下列各数的算术平方根： （1）100；(2)

2249 ；(3) 0.0001 ；⑷ 0； 64

【想一想】：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ ⑴0.16 ⑵1

［跟踪训练］

1、非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，?0.64的算术平方根____，0的算术平方根是____ 2.若x是49的算术平方根，则x=（ ） A. 7 B. －7 C. 49 D.－49

2

3.小明房间的面积为10.8米，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 . 4.

112 ⑶(?3) ⑷0.25 2511111的算术平方根是（ ） A． B． C． D．?

82162 416121?____,??_____ 25815.81?___,6. 16的算术平方根是_____,

7. 若x?4?7，则x的算术平方根是（ ）

A. 49 B. 53 C.7 D 53. 【活动3】思考：－4有算术算术平方根吗？为什么？

归纳：1.正数有 的算术平方根；0的算术平方根是 ；负数 2. 对于a：a 0 a 0 小结与反思

［课后巩固］

具有双重非负性

1．下列哪些数有算术平方根？0.03,?

1,?,0,(?3)2,(?1)3, 162.下列各式中无意义的是（ ） A．?7 B．7 C.?7 D．???7?2

3. 下列运算正确的是（ ）A．?3?3 B．?3??3 C．9??3 D．9??3 4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围：x ⑵5?x 5.若a?2?b?3?0 ，则a= ,b= , a?b? ．

6.一个自然数的算术平方根为 ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______

7.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍.

8.a、b在数轴上的位置如右图： 那么，a?b 有意义吗？

9.要使代数式x?2有意义，则x的取值范围是（ ）A. x?2 B. 10.若

0 a b 2A2FDx?2 C. x?2 D. x?2

x?1??y?3??x?y?z?0，求 x,y,z的值。

学习目标

6.1平方根——估算（2）

1.理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数。

BEC2.能用逼近法估算a（a不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感。 重点 难点

能用逼近法估算a（a不是完全平方数）的算术平方根的大小。 通过估算能比较类似a（a不是完全平方数）的数的大小。

学习过程 ［知识回顾］

1、算术平方根的意义及表示方法。 2、说出下列各数的算术平方根。

100 0.0049

362

4 25 25［探究研讨］

某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在

22

点F的位置上,?再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm.?请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.

【活动1】

怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形. 动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。 问题1：画出拼成的大正方形的草图。

问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑） 把过程简要写一下。

解：设大正方形的边长为x，则有：

讨论：2有多大呢？

思考：你对正数a的算术平方根a的结果有怎样的认识呢？

［巩固练习］1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？ 1

⑴ 121 ⑵ ⑶ 7 ⑷ 8

81

你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个 小数，近似值为 （精确到0.1） 2.估算

3 5 10 37的大小（全部精确到0.1），你还能估算出哪些数的大小？根据你估算的结果，用“＞”把这些

数字连接起来

由上可知:被开方数越大，它的算术平方根也 （越大/越小） 比较大小：⑴20 31 ⑵

1365 ⑶ ⑷-6 10

5674【活动2】

22

例3小丽想用一块面积为400cm的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm的长方形纸片,她可以怎样剪?

2

若用上述正方形纸片剪出面积为300cm的长方形纸片,且其长宽之比为3：2她又该怎样剪?只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?

小结与反思

课后巩固

1.比较下列各组数的大小

①8与10， ②65与8， ③

2.估计40与哪两个整数最接近。

3.若a是30的整数部分，b是30的小数部分，a试确定、b的值。

4.设2?6的整数部分分别是x,y试求x,y的值与x-1的算术平方根。

6.1平方根（3）

学习目标 1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。

2.学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题。 3.体会从一般到特殊的数学思想方法。 重点 平方根的概念和表示方法。 难点 求一个非负数的平方根。 学习过程 ［知识回顾］ 1.求下列各数的算术平方根

2

⑴ 49 ⑵ 0.25 ⑶ 225 ⑷ （-5）

2.求下列各式的值

⑴ 0.09 ⑵ 121 ⑶ -289

［探究研讨］ 【问题1】

① 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ ②填表

2x 1 9 16 x 3?115-1与， ④与1 222 9 25 总结平方根的概念： 例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根 9

⑴ 100 ⑵ ⑶ 0.25

16

【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？ ，可以用什么方法求一个数的平方根？

【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？ 总结平方根的性质：

正数有 个平方根，它们 0的平方根是 负数

【问题4】用什么方法来表示正数的两个平方根呢？阅读课本46页内容，回答下列问题： ① 在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？ ② 被开方数a为什么要大于或等于0

③ 在数字下面的横线上，表示该数的平方根 4

400 0.81 2 9

［巩固练习］

⑴ 10的平方根可表示为 ；算术平方根为 ；负的平方根可表示为

2

⑵（-4）的平方根可表示为 ；算术平方根可表示为 ；负的平方根可表示为 例5：说出下列各式表示的意义，并求值 ⑴ 144 ⑵- 0.81 ⑶?

小结与反思

课后巩固

课本课本第47页习题的第1～4题 1、 判断下列说法是否正确

⑴5是25的算术平方根（ ）⑵

2121 196525是的一个平方根（ ） 636⑶??4?的平方根是－4 （ ）⑷ 0的平方根与算术平方根都是0（ ） 2、⑴121?____,⑵?1.69?____,⑶?49?____,⑷?100??0.3?2?____

（1）2x　（2）?x　（3）x?1　（4）1?x

5、 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由.

25 2

⑸ (-16 ) ⑹ 4 816、 如果一个正数的两个平方根为a?1和2a?7，请你求出这个正数

⑴-64 ⑵0 ⑶144 ⑷

2

2

3、若x?7，则x?_____，x的平方根是_____ 4、x为何值时，下列各式有意义？

7、 解方程 ①3x-27=0②x=25③x-81=0④25x=36

5.讨论：（1）（0.01）＝ ，（5）＝ ；

（2）162＝ ，(?16)2＝ ，(?5)2＝ ； 通过计算你有什么发现？

6.2立方根

学习目标 1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解“两个互为相反数的立方根的关系。

2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别。 3.渗透特殊----一般----特殊的思想方法。 重点 立方根的概念和求法。 难点 立方根与平方根的区别。

学习过程 ［知识回顾］说出下列各式表示的意义，并求值 ⑴ 256 ⑵2

2

22

81492 ⑶ -（-0.3 ⑷ ）16100

［探究研讨］

3

【活动1】要制作一种容积为27m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？

由以上问题，有x=27，即x=a的形式，和上节课学习的平方根（x=a）有什么区别？

【活动2】阅读课本49页的内容，理解以下知识 1. 立方根（三次方根）的概念

2. 什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？

3. 立方根有什么性质？与平方根有什么不同？

4. 数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？

［随学随练］

1、8有 个立方根，是 ，可以表示为 ，即： =

3

2、如果x=8，那么x=

3、立方根等于本身的数为

4、-3是 的平方根，是 的立方根 5、用符号表示并求出下列各数的立方根 ⑴ -10 ⑵ 127 ⑶ 0 ⑷-0.008

6、下列说法中不正确的是（ ）

（A）8的立方根是2 （B）-8的立方根是-2 （C）64 的立方根为2 （D ）125的立方根为±5 7.、3-27的绝对值是（ ）

11

（A） 3 （B）-3 （C） （D） - 33【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值

364⑴ ⑵?125 ⑶ 3332

?321027?3?27 ⑷64

【活动4】探究

3333因为?8?____,?8?____,所以?8 ?8 333?27?____,?27?____?27?27 因为，所以 3你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？

小结与反思

［巩固练习］

1. 课本51页练习第1、3、4题

2. 当x 时，4x有意义；当x 时，34x有意义。 3.下列等式成立的是（ ）

（A） 31=1 （B） 3225=15 （C） —3?125=－5 （D）3?9=－3 4.?64的立方根是 ，3??8?的平方根是 ，3?512的立方根是 5.下列计算或命题中正确的有（ ）

2①±4都是64的立方根 ②3x3=x ③ 27 的立方根是3 ④3(?8)=±4

2（A） 1个 （B） 2个 （C）3个 （D）4个 6.解方程：

3①x?0.008 ②x?3?3333 ③(x?1)?64 ④ 8x+125=0 8