专题7.7 利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)

【考点聚焦突破】

考点一 用空间向量求异面直线所成的角

【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A.3 2

B.

15 5

C.

10 5

D.3 3

(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( ) 5A. 8

3B. 4

7C. 8

1D. 4

【答案】 (1)C (2)A

【解析】 (1)法一 以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.

图(1)

则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).

又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，3，0). →→

所以AB1＝(1，－3，1)，BC1＝(1，0，1)， 则cos〈AB1，BC1〉＝

→→|AB1|·|BC1|＝

（1，－3，1）·（1，0，1）

5·2

＝

10＝，

55·2

10. 52

→

→

AB1·BC1

→→

因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

法二 将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.

1

图(2)

则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝5，BC1＝AD1＝2，B1D1＝3. 由余弦定理得cos∠B1AD1＝

10. 5

(2)法一 取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝

3

a，所以2

a2＋a2－?

cos ∠PBD＝

?3?

a??2?

2

2×a×a5＝. 8

法二 如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.

设AB＝2，则A(3，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P?－3?→→?3

所以AC＝(－3，－1，0)，PB＝?，1，－?，

2??2

55→→

cos 〈AC，PB〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.

88法三 如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，

?

?33?，0，?， 22?

2

因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，设AB→→→→→→

＝2，则AC＝OC－OA，PB＝OB－OP， 5→→→→→→

故AC·PB＝(OC－OA)·(OB－OP)＝－，

2→→AC·PB5→→

所以cos 〈AC，PB〉＝＝－.

→→8|AC|·|PB|5

即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.

8【规律方法】

1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方|v1·v2|

向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.

|v1||v2|

?π?2.两异面直线所成角的范围是θ∈?0，?，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的

2??

夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为( ) 3

A. 5【答案】 C

【解析】 法一 如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，

B.3

2

1C. 2

4D. 5

EF∥CB1∥C1B′，

那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角. 设AA1＝2AB＝2a， 则AC1＝C1B′＝3a，

3

连接AB′，则AB′＝a＋（22a）＝3a， 由余弦定理得

（3a）＋（3a）－（3a）1

cos ∠AC1B′＝＝－.

22（3a）·（3a）1

故直线MN与EF所成角的余弦值为.

2法二 如图，连接AC1，C1B，CB1，

设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD， 则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，

那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角. 设AA1＝2AB＝2a，则AC1＝CB1＝3a， 于是OD＝OC＝又CD＝

3a， 2

2

2

2

22

3a，于是△OCD为正三角形， 2

11

故∠DOC＝60°，cos ∠DOC＝，即直线MN与EF所成角的余弦值为.

22

法三 取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB＝2，则AA1＝22，求得M(－1，0，2)，

N?－，

?1

?233???1

，22?，E?，，0?，F(1，0，2)， 2??22?

33?→?1?→?1

所以MN＝?，，2?，EF＝?，－，2?，

2?22??2?3

→→2MN·EF1→→

cos 〈MN，EF〉＝＝＝.

→→3×32|MN|·|EF|考点二 用空间向量求线面角

【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.

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