两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

【训练3】 (2018·安徽六校第二次联考)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，

E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点.

(1)求证：EF∥平面BCC1B1；

(2)(一题多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值. 【答案】见解析

【解析】(1)证明 如图(1)，连接DE，D1E.

图(1)

∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中点，∴BE∥CD，BE＝CD， ∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC. 又DE?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1， ∴DE∥平面BCC1B1.

∵DD1∥CC1，DD1?平面BCC1B1，

CC1?平面BCC1B1，∴D1D∥平面BCC1B1.

又D1D∩DE＝D，∴平面DED1∥平面BCC1B1. ∵EF?平面DED1，∴EF∥平面BCC1B1. (2)解 如图(1)，连接BD. 设CD＝1，则AB＝BC＝CC1＝2. ∵∠BCD＝60°，

∴BD＝BC2

＋CD2

－2BC·CD·cos 60°＝3. ∴CD2

＋BD2

＝BC2

，∴BD⊥CD. 同理可得，C1D⊥CD.

法一 ∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD＝CD，C1D?平面D1C1CD， ∴C1D⊥平面ABCD，

∵BC?平面ABCD，∴C1D⊥BC， ∴C1D⊥B1C1.

9

在平面ABCD中，过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接C1H，如图(1). ∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.

∵C1H?平面C1DH，∴BC⊥C1H，∴B1C1⊥C1H， ∴∠DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角. ∵在Rt△C1CD中，C1D＝3， 在Rt△BCD中，DH＝CD·sin 60°＝∴在Rt△C1DH中，C1H＝C1D＋DH＝∴cos ∠DC1H＝

2

2

3， 215， 2

C1D25＝. C1H5

25

∴平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为.

5

法二 以D为原点，分别以DB，DC，DC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图(2)，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，0，3)，B(3，0，0)，

图(2)

→→→→

∴B1C1＝BC＝(－3，1，0)，DC1＝(0，0，3)，CC1＝(0，－1，3). 设平面BCC1B1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →??n1·BC＝0，?－3x1＋y1＝0，

则?即?

→??n1·CC1＝0，?－y1＋3z1＝0.取z1＝1，则y1＝3，x1＝1，

∴平面BCC1B1中的一个法向量为n1＝(1，3，1). 设平面DC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2). →??n2·B1C1＝0，?－3x2＋y2＝0，

则?即?

→?3z＝0.2??n2·DC1＝0，令x2＝1，则y2＝3，z2＝0，

∴平面DC1B1的一个法向量为n2＝(1，3，0).

设平面BCC1B1与平面DC1B1所成的锐二面角的大小为θ， |n1·n2|1＋325

则cos θ＝＝＝.

|n1||n2|51＋3＋1·1＋3

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25

∴平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为.

5考点四 用空间向量求空间距离(供选用)

【例4】 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23，求点A到平面MBC的距离.

【答案】见解析

【解析】设CD的中点为E，连接ME，BE， 因为△MCD是正三角形， 所以ME⊥CD.

又因为平面MCD⊥平面BCD，ME?平面MCD. 平面MCD∩平面BCD＝CD. 所以ME⊥平面BCD. 因为△BCD是正三角形， 所以BE⊥CD，

以E点为坐标原点，ED，EB，EM所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图.

则E(0，0，0)，M(0，0，3)，C(－1，0，0)，B(0，3，0)，A(0，3，23). 所以→MA＝(0，3，3)，→BM＝(0，－3，3)，→

CM＝(1，0，3)， 设n＝(x，y，z)是平面MBC的法向量，则

n⊥BM→，n⊥CM→

，

所以n·→BM＝0，n·→

CM＝0，

所以??－3y＋3z＝0，?x

＋3z＝0，

令z＝1，则y＝1，x＝－3，所以n＝(－3，1，1). 所以点A到平面MBC的距离为 d＝|→

MA·n|2|n|＝35＝2155.

【规律方法】

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1.空间中两点间的距离的求法

两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此，要求两点间的距离除了使用距离公式外，还可转化为求向量的模.

2.求点P到平面α的距离的三个步骤：

→

(1)在平面α内取一点A，确定向量PA的坐标表示； (2)确定平面α的法向量n； →

|PA·n|

(3)代入公式d＝求解.

|n|

【训练4】 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是________.

2

【答案】

3

【解析】 因为平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，所以平面EFD1B1和平面GHDB的距离，就是EF到平面GHDB的距离，也就是点F到平面GHDB的距离.

建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

→→→

则DF＝(1，0，0)，DH＝(0，1，2)，DB＝(2，2，0)， 设平面GHDB的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·DH＝0，??y＋2z＝0，

则?即?

?→2x＋2y＝0，???n·DB＝0，不妨设y＝－2，则n＝(2，－2，1)， 所以点F到平面GHDB的距离

→

|DF·n||1×2＋0×（－2）＋0×1|2d＝＝＝， 222

|n|32＋（－2）＋12即平面EFD1B1和平面GHDB的距离也是.

3【反思与感悟】

1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.

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