??B??J?????E????B????E??B?t?E1????B?t??1????E??
6.11 写出在空气和???的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 解 空气和理想导体分界面的边界条件为
根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件
n?E?0n?H?Js
n ?l a H1 b ?h E?H?H??E?Js?Jms
n?H?0d H2 题6.12图 c 式中，Jms为表面磁流密度。
n?E??Jms
6.12 提出推导n?H1?Js的详细步骤。 解 如题6.12图所示，设第2区为理想导体（
bacd ?2??）。在分界面上取闭合路径
aabcda,ab?cd??l,bc?da??h?0。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得
??H?dl??CH?dl??H?dl??H?dl??H?dlbcd?h?0?H???l?H2??l?lim(?J?dS??S?D?dS)?tS （1）
?D因为?t为有限值，故上式中
?D?dS?0?h?0?tSlim?而(1)式中的另一项
?h?0
为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有
S?h?0lim?J?dSlim?J?dS?Js?N?lS因
故式（1）可表示为
?l?(N?n)?l
(H1?H2)?(N?n)?l?Js?N?l （2）
应用矢量运算公式A?(B?C)?(C?A)?B，式（2）变为
[n??H1?H2?]?N?Js?N故得
n?(H1?H2)?Js由于理想导体的电导率
（3）
?2??，故必有E2?0,H2?0，故式（3）变为
n?H1?Js
6.13 在由理想导电壁（???）限定的区域0?x?a内存在一个由以下各式表示的电磁场：
这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？
解 如题6.13图所示，应用理想导体的边界条件可以得出
在x=0处，
a?xEy?H0??()sin()sin(kz??t)?aa?xHx?H0k()sin()sin(kz??t)?a?xHz?H0cos()cos(kz??t)a x Ey?0,Hx?0Ey?0,Hx?0
a Hz?H0cos(kz??t)在x=a处，
o 题6.13图
上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量Ey和磁场的法向分量Hx。
另外，在x=0的表面上，电流密度为
Hz??H0cos(kz??t) Js?n?H|x?0?ex?(exHx?ezHz)|x?0?ex?ezHz在x=a的表面上，电流密度则为
x?0??eyH0cos(kz??t)
Js?n?H|x?a??ex?(exHx?ezHz)|x?a??ex?ezHzx?a??eyH0cos(kz??t)
6.14 海水的电导率??4S/m，在频率f=1GHz时的相对介电常数?r?81。如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，，比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。
解 对于海水，H的微分方程为
?r?1,??5.7?107S/m??H?J?j?D??E?j??E?j?(??j即把海水视为等效介电常数为
?c???j??的电介质。代入给定的参数，得
?)E?
对于铜，传导电流的幅度为?E，位移电流的幅度??E。故位移电流与传导电流的幅度之比为
10?94??E?j2??10(81??j)E936?2??10?j(4.5?j4)E?(4?j4.5)E
9??2?f?r?0????2?f?可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H的微分方程
为
1?10?936??9.75?10?13f75.7?10
??H??E?5.7?107E
6.15 计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。
解 瞬时能流密度矢量为
S?E?H?eyEy?(exHx?ezHz)?exEyHz?ezEyHx?exH02??aaa?x?ezH02??k()2sin2()sin2(kz??t)?a1a?x?x?exH02??sin()cos()sin2(kz??t)2?aa1a?x?ezH02??k()2sin2()[1?cos2(kz??t)]2?a为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式
?sin(?xa)cos(?x)sin(kz??t)cos(kz??t)
Ey?H0??()sin(a?x故平均能流密度矢量为
aa?x?jkz?j?2Hx?H0k()sin()e?a?xHz?H0cos()e?jkza
?)e?jkz?j?2Sav?11**Re[E?H*]?Re[exEyHz?ezEyHx]221a?x?xj?2?Re[exH0??sin()cos()e2]2?aaa?x12a?x?ezH02??k()2sin2()??ezH0??k()2sin2()?a2?a
6.16 写出存在电荷?和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。
解 存在外加源?和J时，麦克斯韦方程组为
?E?t （1） ?H??E????t （2） ??H?J????H?0 （3）
???E?? （4）
对式（1）两边取旋度，得
????H???J????t(??E)而
????H??(??H)??2H故
?(??H???2H???J????t(??E) 将式（2）和式（3）代入式（5），得
2?2?H???H?t2????J这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。
同样，对式（2）两边取旋度，得
????E?????t(??H?即
?(??E???2E?????t(??H? 将式（1）和式（4）代入式（6），得
?2E????2E?J1?t2???t????此即E满足的波动方程。
对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示
??H?J?j??E ??E??j??H ??H?0 ??E??? 对式（7）两边取旋度，得 ????H???J?j????E利用矢量恒等式
????H???(??H???2H得
?(??H???2H???J?j????E 将式（8）和式（9）代入式（11），得
?2H+?2??H????J此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。
同样，对式（8）两边取旋度，得 ????E??j????H即
?(??E???2H??j????H （5）
（6）
（7） （8）
（9） 10）
11）
12）
（ （ （