?2??2??2?解 （1）在直角坐标系中 ???2?2?2

?x?y?z?2??2?hz2?hz 而 ?[sin(kx)sin(ly)e]??ksin(kx)sin(ly)e22?x?x?2??2?2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??l2sin(kx)sin(ly)e?hz 2?y?y?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]?hsin(kx)sin(ly)e22?z?z2222?hz故 ???(?k?l?h)sin(kx)sin(ly)e?0

21????2??2? （2）在圆柱坐标系中 ???(r)??r?r?rr2??2?z22而

1???1??(r)?{rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] r?r?rr?r?r1?2?2n?2??nr[cos(n?)?Asin(n?)]} 22r???2??2?n?2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 2?z?z2故 ???0

1???1??(r)?{r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2cos(n?) （3）

r?r?rr?r?r1?2???n2r?n?2cos(n?) 22r???2??2?n?2[rcos(n?)]?0 2?z?z2故 ???0

（4）在球坐标系中

1?2??1???1?2? ???2(r)?(sin?)?22r?r?rr2sin?????rsin???21?2??1??2(r)?2[r2(rcos?)]?cos? 而 2r?r?rr?r?rr1???1??(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?22(?rsin?)??cos? 2rsin???r221??1??(rcos?)?0 222222rsin???rsin???2故 ???0

1?2??1??2(r)?2[r2(r?2cos?)]?2cos? （5） 2r?r?rr?r?rr21???1(sin?)?r2sin?????r2sin?1r2sin????2[sin?(rcos?)]? ?????2(?r?2sin2?)??4cos? ??r1?2?1?2?2?(rcos?)?0

r2sin2???2r2sin2???22故 ???0

3.14 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）e?ycoshx； （2）e?ycosx；

（3）e?cosxsinx

（4）sinxsinysinz。

2y?2?y?2?y?2?y解 （1）2(ecoshx)?2(ecoshx)?2(ecoshx)?2e?ycoshx?0

?x?y?z所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解；

?2?y?2?y?2?y?y?y（2） (ecosx)?(ecosx)?(ecosx)??ecosx?ecosx?0 222?x?y?z所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解；

?2?（3） (e?x22y?2?cosxsinx)?2(e?y?4e?2y2y?2?cosxsinx)?2(e?z2ycosxsinx)?

cosxsinx?2e?2ycosxsinx?0

所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解；

?2?2?2(sinxsinysinz)?2(sinxsinysinz)?2(sinxsinysinz)? （4） ?x2?y?z?3sinxsinysinz?0

所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。

3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为

P?P0(exx?eyy?ezz)。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚

电荷为零。

解 （1） ?P???gP??3P0

LP0 x?L2x?L22LL?P(x??)?ngPx??L2??exgPx??L2?P0

22LLLLL同理 ?P(y?)??P(y??)??P(z?)??P(z??)?P0

22222L32q??d???dS??3PL?6L?P0?0 （2） P?PP0??2?S?P(x?)?ngPL2?exgP?3.16 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心

2?r?1?()R02 点的电位为

2?r3?0解 由

??DgdS?q，可得到

S4?r3r?R0时， 4?rD1??

3D1?r?r? 即 D1?， E1???3??3r0r034?R02r?R0时， 4?rD2??

33D1?R0?R03? ， E2? 即 D2?22?03?0r3r2故中心点的电位为

?22?R03?r?R?R2?r?1?200?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr? ??()R023??3?r6?r?03?02?r3?0r000R0R3.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为

00R0?R0一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p???gP??在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?ngPr?R1d2KK(r)?? r2drrr2K?ergPr?R?

R（2）由于D??0E?P，所以 ?gD??0?gE??gP?即 (1??0?gD??gP ??0)?gD??gP ?????0?p??K

(???0)r2由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

???gD?????0?gP???KR14??RK24?rdr? 总的自由电荷量 q???d??2????r???000?（3）介质球内、外的电场强度分别为

PK?er (r?R) ???0(???0)rq?RKE2?er?e (r?R) r4??0r2?0(???0)r2E1?介质球内、外的电位分别为

?R??1??Egdl??E1dr??E2dr?

rRrRK?RKdr?dr? 2??(???)r?(???)r00rR0KR?Kln? (r?R)

(???0)r?0(???0)????2??E2dr??r?RK?RKdr? (r?R) 2?(???)r?(???0)r00r03.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导

出束缚电荷密度?P的表达式。

解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为 ?P???gP???gD??0?gE 在介质内没有自由电荷密度时，?gD?0，则有 ?P??0?gE

(?E)???gE?Eg???0 由于D??E，有 ?gD??g所以 ?gE??Eg???

由此可见，当电介质不均匀时，?gE可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷

体密度。

（2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0?gE???0Eg?? ?3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的

E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)

那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和

D2？

解 设在介质2中

E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)

D2??0?r2E2?3?0E2

(D1?D2)?0，可得 在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ezg ???ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)

??2?5?0?3?0E2z(x,y,0)E2y(x,y,0)??3x

于是得到 E2x(x,y,0)?2y

E2z(x,y,0)?103

故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)

不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。

3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为

?1??E0rcos?????03cos?aE02 r?a

??2?0r?2??3?0Ercos? r?a

??2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。

解 在球表面上

?1(a,?)??E0acos?????03?0aE0cos???E0acos?

??2?0??2?0