2.2.3 直线与平面平行的性质

【选题明细表】

知识点、方法 线面平行性质定理的理解 线面平行性质定理的应用 判定、性质综合应用 题号 1,2 3,4,5,8 6,7,9,10,11

1.若一条直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是( D ) (A)平行 (B)相交

(C)异面 (D)平行、相交或异面

2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是( D ) (A)b?平面α (B)b∥α或b?α (C)b∥平面α

(D)b与平面α相交或b∥平面α

解析:b与a相交,可确定一个平面,记为β,若β与α平行,则b∥α;若β与α不平行,则b与α相交.

3.(2018·北京西城期末)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,若l∥α,l∥β,α∩β=m,则( A )

(A)l与m平行 (B)l与m相交 (C)l与m异面 (D)l与m垂直

解析:如图所示,α,β是两个不同的平面,l是一条直线,

当l∥α,l∥β,且α∩β=m时,l∥m.故选A.

4.如图,四棱锥PABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( B )

(A)MN∥PD (B)MN∥PA (C)MN∥AD (D)以上均有可能

解析:因为MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA,MN?平面PAC,所以MN∥PA.

5.如图所示,四边形ABCD是矩形,P?平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.则四边形BCFE的形状为 .

解析:因为BC∥平面PAD,平面BCFE∩平面PAD=EF, 所以EF∥BC,又EF≠AD,AD=BC, 所以四边形BCFE为梯形. 答案:梯形

6.证明:如果一条直线和两个相交的平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行. 证明:已知:直线a∥平面α,

直线a∥平面β,且α∩β=b.求证:a∥b.

如图,经过直线a作平面γ,δ,使γ∩α=c,δ∩β=d. 由题意可知a∥α,a?γ,γ∩α=c,所以a∥c, 同理a∥d,所以c∥d,又因为d?β,a?β, 所以c?β,因此c∥β. 又c?α,α∩β=b, 所以c∥b. 因为a∥c,

由基本性质4知a∥b.

7.(2018·合肥二模)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( C )

(A)0条 (B)1条 (C)2条 (D)1条或2条

解析:如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH.

因为EF?平面BCD,GH?平面BCD,所以EF∥平面BCD. 因为EF?平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD, 所以EF∥CD,所以CD∥平面EFGH. 同理AB∥平面EFGH.故选C.

8.在三棱锥SABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,点D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为( A )

(A) (B) (C)45 (D)45

解析:取AC的中点G,连接SG,BG.

易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH,SB?平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD, 则SB∥HD. 同理SB∥FE.

又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点, 从而得HF∥DE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.

又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,

其面积S=HF·HD=(AC)·(SB)=.

9.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB= .

解析:因为AC∥平面EFGH, 所以EF∥AC,HG∥AC.

所以EF=HG=·m.

同理,EH=FG=·n.

因为四边形EFGH是菱形,

所以·m=·n,所以AE∶EB=m∶n.

答案:m∶n

10.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点P∈BB1(P不与B,B1重合).PA∩A1B=M,PC∩BC1=N.

求证:MN∥平面ABCD. 证明:如图,连接AC,A1C1, 在长方体ABCDA1B1C1D1中, AA1∥CC1,且AA1=CC1,

所以四边形ACC1A1是平行四边形.

所以AC∥A1C1.

因为AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1, 所以AC∥平面A1BC1.

因为AC?平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN, 所以AC∥MN.

因为MN?平面ABCD,AC?平面ABCD, 所以MN∥平面ABCD.

11.在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.

证明:因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥GH. 因为GH?平面ABD,EF?平面ABD, 所以EF∥平面ABD.

因为EF?平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB, 所以EF∥AB.

因为AB?平面EFGH,EF?平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH.