2018-2019学年上海市黄浦区高一下学期期末数学试题(解析版) 下载本文

cos?cos?90??????2, 观察式子规律可总结出一般规律:

sin?sin?180????可赋值??30?,??40?,得

cos30?cos60??2 sin40?sin140?故答案为:【点睛】

cos30?cos60??2 sin40?sin140?本题考查归纳推理能力,能找出余角关系和补角关系是解题的关键,属于基础题 16.已知公式cos3??4cos3??3cos?,??R,借助这个公式,我们可以求函数

??3??f(x)?4x?3x?2?x??0,的值域,则该函数的值域是______. ?????2???3【答案】??3,?2?

????【解析】根据题意,可令x?cos?,???,?,结合cos3??4cos3??3cos?,再进

?62?行整体代换即可求解 【详解】

?3?????令x?cos?,???,?,则x??0,?,

?62?2????f(x)?4x3?3x?2?f?cos???4cos3??3cos??2?cos3??2,???,?,

?62???3??则3???,?,cos3????1,0?,cos3??2???3,?2?,则函数值域为??3,?2?

?22???故答案为:??3,?2? 【点睛】

本题考查3倍角公式的使用,函数的转化思想,属于中档题

三、解答题

17.已知Sn是等差数列?an?n?N(1)求通项公式an;

(2)若Sk?a841,求正整数k的值. 【答案】(1)2n?1(2)41

【解析】(1)根据通项公式先求出公差d,再求an即可;

?*?的前n项和,且a3?5,a16?31.

第 9 页 共 13 页

(2)先表示出Sn,求出a841的具体值,根据Sk?a841求k即可 【详解】

(1)由a3?5,a16?31,可得a16?a3?13d?26?d?2, 则an?a3??n?3?d?5?2?n?3?=2n?1

a1?1,a841?2?841?1?1681,(2)则Sk?【点睛】

?a1?ak?k?1?2?2k1??k2解得k?41 ?1681,

本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的用法,属于基础题

*18.已知集合X?{2,3,4,6,8,15,17},数列?an?n?N是公比为q(q?1)的等比数

??列,且等比数列的前三项满足a1、a2、a3?X. (1)求通项公式an;

(2)若Sn是等比数列?an?的前n项和,记A?S1?S2?S3?求和公式化简A(用含n的式子表示) 【答案】(1)2n(2)2n?2?2n?4

【解析】(1)观察式子特点可知,只有2,4,8三项符合等比数列特征,再根据题设条件求解即可;

(2)根据等比数列通项公式表示出Sn,再采用分组求和法化简A的表达式即可 【详解】

(1)由题可知,只有2,4,8三项符合等比数列特征,又q?1,故a1?2,a2?4,a3?8,

n故q?2,a1?2,an?2;

?Sn,试用等比数列

(2)Sn?a1?1?qn?1?q?2n?1?2,

A?S1?S2?S3?4?1?2n?1?2?Sn?22?2?23?2?24?2?n?22n+1?2?

?2n?2n?2?2n?4,所以A?2?2n?4

【点睛】

本题考查等比数列通项公式的求法,等比数列前n项和公式的用法,分组求和法的应用,属于中档题

第 10 页 共 13 页

19.已知A、B、C是△ABC的内角,且AC?5,AB?6. (1)若cosB?9,求△ABC的外接圆的面积: 16(2)若BC?x,且△ABC为钝角三角形,求正实数x的取值范围. 【答案】(1)

64?(2)1,11U7???61,11

?【解析】(1)根据同角三角函数基本关系先求得sinB,再由正弦定理求得R即可; (2)因A,C大小不能确定,故钝角不能确定,结合三角形三边关系和余弦定理特点即可判断 【详解】

2R???9?9?57(1)由cosB?,又?sinB?1????sinB577,即

161616??16R?87AC516,

2故外接圆的面积为:S??R???6464?? 77(2)AC?5,AB?6,BC?x,根据三边关系有1?x?11,

当A为钝角时,可得cosA?0,即52?62?x2?0,解得x?61,故61?x?11; 当C为钝角时,可得cosC?0,即52?x2?62?0,解得x?11,故1?x?11; 综上可得x的范围是1,11U【点睛】

本题考查正弦定理的应用,余弦定理和三角形中形状的判断的关系,属于中档题 20.已知角?、2???的顶点在平面直角坐标系的原点,始边与x轴正半轴重合,且角?的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1的圆)的交点A位于第二象限,角2???的终边和单位圆的交点B位于第三象限,若点A的横坐标为xA??为yB?????61,11

?3,点B的纵坐标55. 13

(1)求sin2?、cos2?的值;

第 11 页 共 13 页

(2)若0????,求?的值.(结果用反三角函数值表示) 【答案】(1)?247204 ;?(2)??arccos3252525【解析】(1)可根据单位圆定义求出sin?,cos?,再由二倍角正弦公式即可求解; (2)先求出sin?2????,cos?2????,由cos??cos??2???2??????可求得cos?,结合反三角函数即可求得? 【详解】

(1)由题可知:cos???23, 54?3?244?3?sin2??2sin?cos??2?????, sin??1?????,??5?5?255?5?7?3?cos2??2cos??1?2?????1??;

25?5?22(2)由sin?2??????512?cos?2??????,cos??cos??2???2?????? 1313?7??12???24??5?204cos2?cos?2?????sin2?sin??2???????????????, ???????25??13??25??13?325又0????,??arccos【点睛】

本题考查单位圆的定义,二倍角公式的应用,两角差余弦公式的用法,属于中档题 21.已知函数f(x)?cos2x?23sinxcosx?1,x?R.

(1)把f?x?表示为Asin(?x??)?B(A?0,??0,0????)的形式,并写出函数

204 325f?x?的最小正周期、值域;

(2)求函数f?x?的单调递增区间:

?x1,若x1?x2, (3)定义:对于任意实数x1、x2,max?x1,x2???x,若x?x.21?2设g(x)?max{3asinx,acosx},x?R(常数a?0),若对于任意x1?R,总存在x2?R,使得g?x1??f?x2?恒成立,求实数a的取值范围. ??【答案】(1)?;??1,3?(2)x????k?,?k??,k?Z(3)??0,?36?????23?? 3?第 12 页 共 13 页