2020年九年级数学中考三轮冲刺复习:《四边形综合训练》(含解析) 下载本文

即CN2+CM2=DM2+BN2 .

18.如图,在平面直角坐标系中,边长为3的正方形OABC的边OC落在x轴的正半轴上,边OA落在y轴的正半轴上,点E从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿着射线AB 的方向运动,点A关于OE的对称点为点F.运动时间为t秒,连接OF、EF、BF、CF.(1)如图1、当∠AOE=30°时,求∠CFB的度数; (2)如图2,当t=1时,求证:BF⊥CF.

(3)如图3,过点F作FG⊥CF,且FG=CF,连接AG.M为AG的中点,连接CM.则当t= (3+3

)s 时,CM有最小值,CM的最小值为 3﹣

解:(1)如图1中,连接AF.

由翻折想性质可知:∠AOE=∠EOF=30°,OA=OF, ∴∠AOF=60°, ∴△AOF是等边三角形, ∴AF=FO,∠OAF=60°,

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∵四边形OABC是正方形,

∴AB=OC,∠OAB=∠AOC=∠ABC=∠OCB=90°, ∴∠BAF=∠COF=30°, ∵AB=AF=OF=OC,

∴∠ABF=∠AFB=∠OCF=∠OFC=75°, ∴∠FCB=∠FBC=15°, ∠CFB=180°﹣15°﹣15°=150°.

(2)如图2中,作FM⊥AB于M,交OC于N.设FM=x,EM=y.

∵∠OAM=∠AMN=∠AON=90°, ∴四边形AMNO是矩形,

∴MN=AO=3,AM=ON=1+y,FN=3﹣x, 在Rt△EFM和Rt△OFM中,则有

解得,

∴BM=CN=3﹣1﹣=, ∴BF==,CF==,

∴CF2+BF2=

+

=9=BC2,

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∴∠CFB=90°, ∴CF⊥BF.

(3)如图3中,AO的延长线上截取OK=OC,连接KC,KG,OM.

∵OC=OF=OK,∠COK=90°, ∴∠CFK=135°, ∵CF⊥FG, ∴∠CFG=90°,

∴∠KFG=360°﹣135°﹣90°=135°, ∴∠KFC=∠KFG, ∵KF=KF,FC=FG, ∴△KFC≌△KFG(SAS), ∴KC=KG=3

∵OA=OC=OK,AM=MG, ∴OM=KG=

∴点M的运动轨迹是以O为圆心,OM长为半径的圆弧, ∴当点M落在线段OC上时,CM定值最小,最小值=3﹣,

此时易证:∠AOE=∠EOF=67.5°,可得BE=OB=3,

∴AE=3+3, ∴t=(3+3

)s.

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故答案为:3+3,3﹣.

19.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3cm,BC=4cm,点P从点C出发,沿折线CA﹣AB﹣BC以5cm/s的速度运动,当点P与点B不重合时,连结PB,以线段PB为对角线作正方形PDBE,设点P的运动时间为t(s),正方形PDBE的面积为S(cm2). (1)当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时,求t的值;

(2)当点P沿折线CA﹣AB运动时,求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围;

(3)在整个运动过程中,正方形PDBE至少有一个顶点落在∠A的平分线上时,直接写出t的值.

解:(1)当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时, 设正方形的边长为x,如图1所示: ∵PE∥AB, ∴

, , , ,

即:=解得:x=∴PE=

∴EC=BC﹣BE=4﹣∴PC=

∴t==s;

(2)①当0≤t≤1时,作PH⊥BC于H,如图2所示: 则PH∥AB,

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