（3）①如图2﹣1中，当DG∥CF时，设CF交AG于P．

∵A，G关于CF对称， ∴CF垂直平分线段CF， ∴AP＝PG，∠APF＝90°， ∵PF∥DG，AP＝PG， ∴AF＝DF， ∵EF∥AB， ∴DE＝BE＝

，

∴EC＝BE﹣CB＝﹣3＝．

如图2﹣2中，当DF∥CG时，

∵CG∥AD， ∴∠AFC＝∠FCG，

17

∵∠FCG＝∠FCA， ∴∠AFC＝∠ACF， ∴AF＝AC＝4， ∵EF∥AB， ∴

＝

，

∴＝，

∴BE＝5，

∴EC＝BE﹣BC＝5﹣3＝2，

综上所述，满足条件的EC的值为2或．

②如图3中，设CF交AG于P．

∵∠ACH＝∠APC＝90°，

∴∠PCH+∠ACP＝90°，∠ACP+∠PAC＝90°，∴∠PCH＝∠PAC，设∠PAC＝∠PCH＝α， ∵∠AFE＝90°， ∴∠AFE+∠PCE＝180°， ∴A，F，E，C四点共圆，

∴∠FAE＝∠ECF＝α，设∠CAB＝β， ∵∠DAB＝90°， ∴α﹣∠EAG+α+β＝90°， ∵β﹣∠EAG＝30°，

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∴2α＝60°，

∴α＝30°，设PC＝k，则AP＝PG＝∴GH＝

k﹣

k＝

k，AH＝

k，PH＝k+

k＝

k， k，

∴＝＝．

故答案为．

8．问题背景：峰兄在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形△ABC，△CDE中，连接AD，BE可以得到△ACD≌△BCE，好学的他发问取AD，BE的中点，得到的△CMN是特殊三角形吗？请说明理由；

迁移应用：如图2，在正方形ABCD中，点O为CB的中点，构造正方形EHMF绕O点进行旋转，OE＝OF，连接AH，BE，DM，求

的值；

联系拓展：如图3，等腰Rt△ABC，△BDE中，AB＝AC，BD＝DE，∠BDE＝∠BAC＝90°，当△BDE绕B点旋转的过程中取AD，CE的中点M，N，连接MN，若AB＝且∠ABD＝30°，BD＝1时，直接写出MN的长度．

BD，

解：问题背景：如图1中，△CMN是等边三角形．理由如下：

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∵△ACB，△DCE都是等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵AM＝AD，BN＝BE， ∴AM＝AN， ∵AC＝CB，

∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN， ∴∠ACB＝∠MCN＝60°， ∴△MCN是等边三角形．

迁移应用：如图2中，连接AO，OH．

∵四边形ABCD，四边形EFMH是正方形， ∴∠ABO＝∠HEO＝90°，AB＝BC，HE＝， ∵OB＝OC，OE＝OF， ∴AB＝2BO，EH＝2OE，OA＝OB，OH＝

OE，∴＝， ∴

＝

，

∴△ABO∽△HEO， ∴∠AOB＝∠HOE， ∴∠BOE＝∠AOH，

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