目 录

摘要…………………………………………………................................1 1 引言…………………………………………………................. ..........2 2 函数一致连续性的证明方法................…………………….. .............2

2.1 有限区间上的一致连续函数…………………..…...................2 2.2 无限区间上的一致连续函数………………………….............4 2.3 任意区间上的一致连续函数………………….........................5 3函数一致连续性的应用....…………………………………….............7 结论………………………………………………………..…................9参考文献...….....…………………......………………………..................9 致谢…………………………………………………………….............,,.9

函数一致连续性证明的几种方法及应用

数学计算机科学学院

摘 要：函数一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着

十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的含参量积分，函数项级数等概念有着密切的联系.因此，证明函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文从函数一致连续性的概念出发，对函数一致连续性做出了深入分析，从不同类型区间包括有限区间，无限区间，以及任意区间等讨论了函数一致连续性和证明方法及其应用.

关键词：函数；一致连续；充要条件；康托定理

Function mean value theorem to prove and applicatio

College of Mathematics and Computer Science Arts

Abstrac: The uniformly continuous function is an important concept of

mathematical analysis course, plays a very important role in analyzing the matter. It is not only the continuous functions on closed interval Riemann integrable theoretical basis, and then the integral containing parameters, the concepts of series expressed by function terms has the close relation. As a result, the proof of function's consistent continuity is mathematical analysis is an important content. In this paper, starting from the concept of uniformly continuous function of uniformly continuous function has made the thorough analysis, from different types including limited interval, infinite interval, and arbitrary interval uniformly continuous function are discussed and proved method and its application.

Key words: function;Uniformly continuous; Necessary and sufficient

condition;Cantor theorem

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1引言

函数f?x?在区间上一致连续与函数f?x?在区间上连续在概念上有着重大的差别：函数f?x?在区间上连续是函数f?x?在区间上每一点都连续，这是一个局部性质；而函数f?x?在区间上一致连续则是整体性质，它可推出函数f?x?在区间上每一点都连续这一局部性质，是更强的连续性概念.在这里我们对函数的一致连续性进行深入的探讨，并给出函数一致连续的几个证明方法与应用，以及在函数一致连续性的条件下得到的几个重要结论，以致更深入了解并掌握该定理.

2函数一致连续性的证明方法

函数一致连续的定义[1] 设函数f?x?为定义在区间I上的函数.若对任给的正数

?，总存在正数?，只要x'，x''属于I，且x'?x''??，就有

'''f?x??f?x???，则称函数f?x?在区间I上一致连续.

下面介绍函数一致连续性的几种方法 2.1 有限区间上的一致连续函数

设函数y?f?x?于区间(a,b)上有定义, 记Af????Supf?x1??f?x2?( 式中

x1 和x2为(a,b)中受条件x1?x2??限制的任意两点) 称为函数f?x?在区间

(a,b)上?的振幅数.

Af????0. 定理1 [2]函数f?x?在区间(a,b)上一致连续的充分必要条件是?lim?0?'证明 先证必要性 f?x?于(a,b)上一致连续, ???0,???0，使(a,b)中任何两点

x1和x2, 只要x1?x2??', 就有f(x1)?f(x2)??2.于是对于任意满足0????'的

2

?, 则当

x1?x2?? 时, 就有

f(x1)?f(x2)??2, 从而

Af????Supf?x1??f?x2???2Af????0. ??, 所以?lim?0?Af????0, ???0,??'?0, 使当0????'时, 恒有 再证充分性 设?lim??0'?Af?????, 令??，则0??*??', 设x1和x2为(a,b)中满足x1?x2??*任意两2**点, 有f(x1)?f(x2)?Af?????, 所以f?x?于(a,b)内一致连续.

上式中区间(a,b)可改为区间I

定理2[3] （Cantor 定理） 若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上一致续.

定理3[4] 函数f(x)在开区间?a,b?上一致连续的充要条件是f(x)在?a,b?上连

limf(x)与limf(x)都存在. 续，且x?a?x?b????0 ，?x',x''?(a,b) ，证明 （必要性）设f(x)在?a,b?上一致连续，即???0，

''''''''''''且x?x?? ， 有f(x)?f(x)?? .故?x,x?(a,b)，当x,x?(a,a??)

'''f(x)存在.同理limf(x)存在. 时，有f(x)?f(x)?? .据Cauchy 准则， xlim?a?x?b? （充分性）作函数f(x)的连续延拓F(x)

?f(a?0),x?a?F(x)??f(x),x?(a,b)

?f(b?0),x?b?则F(x) 在?a,b?上连续，由Cantor 定理，F(x) 在?a,b?上一致连续，从而f(x)在

?a,b?上一致连续.

定理4[5]f?x?在有限区间 I上一致连续的充要条件是：对于区间I上的任一柯西列（基本列）?xn?都有?f?xn??也为柯西列（基本列）.

证明:[必要性] 因为f?x?在I上一致连续，即对任意的??0，存在??0，使

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