（ii）我们使用相同的方法，伴随着一个事实，即（i）部分= C1 + C2 +。因此，=（C1 +易） - （C1 +）=易 - （C2 + XI） - = XI - 。因此，C1和C2完全辍学的回归（C1 +毅）（C2 + XI）和=的斜率公式。截距= - =（C1 +） - （C2 +）=（）+ C1 - C2 = C1 - C2，这就是我们想向大家展示。
（三），我们可以简单地适用（ii）部分，因为。换言之，更换C1与日志（C1），易建联与日志（彝族），并设置C2 = 0。
（iv）同样的，我们可以申请C1 = 0和更换C2日志（C2）和xi日志（十一）（ii）部分。如果原来的截距和斜率，然后。
2.10（一）该推导基本上是在方程（2.52），一旦带内的求和（这是有效的，因为不依赖于i）。然后，只需定义。
（ⅱ）由于我们表明，后者是零。但是，从（i）部分， 因为是两两相关（他们是独立的），（因为）。因此，
（iii）本的OLS拦截的公式，堵在给
（4）因为是不相关的， ，
这就是我们想向大家展示。
（五）使用提示和替代给
2.11（一）我们想要，随机指定小时数，这样在准备课程时间不受其他因素影响性能的SAT。然后，我们将收集信息为每一个学生的SAT分数在实验中产生的数据集，其中n是我们可以负担得起的学生人数在研究。从公式（2.7），我们应该试图得到尽可能多的变化是可行的。
（二）这里有三个因素：先天的能力，家庭收入，和一般健康检查当天上。如果我们认为具有较高的原生智慧的学生认为，他们不需要准备SAT，能力和时间呈负相关。家庭收入可能会与时间呈正相关，因为高收入家庭可以更容易负担得起的预备课程。排除慢性健康问题，健康考试当天应大致准备课程的时间无关。
（iii）倘预备课程是有效的，应该是积极的：，应加大坐在其他因素相等，增加小时。
（iv）本拦截，在这个例子中有一个有用的解释：因为E（U）= 0时，平均SAT成绩的学生在人口小时= 0。
第3章
解决问题的办法
3.1（I）hsperc定义使得较小的是，较低的高中学生的地位。一切平等，在高中学生中的地位恶化，较低的是他/她预期的大学GPA。
（二）只要将这些值代入方程： （20）+ 0.00148（1050）= 2.676。
（三）A和B之间的区别仅仅是140倍的系数上周六，，因为hsperc是相同的两个学生。所以A预测都有得分0.00148（140）高.207。
（四）随着hsperc固定坐着。现在，我们要找出坐在= 0.5，所以0.5 = 0.00148（坐）或坐在= 0.5 /（0.00148）338。也许并不奇怪，其他条件不变的情况下差异大的SAT分数 - 几乎两个和一个半标准差 - 需要获得大学GPA或半个点的预测差异。
3.2（i）同意。由于预算的限制，它是有道理的，在一个家庭中的兄弟姐妹有，任何一个家庭中的孩子受教育较少的。要找到降低预测的教育一年的兄弟姐妹的数量的增加，我们解决1 = .094（），所以后后。
（二）控股SIBS feduc的固定，一年以上母亲的教育意味着0.131年预测教育。所以，如果母亲有4年以上的教育，她的儿子被预测有大约了半年（.524）更多的受教育年限。
（三）由于兄弟姐妹的人数是一样的，但meduc feduc都是不同的，系数在meduc feduc都需要进行核算。 B和A是0.131（4）+ .210（4）= 1.364之间的预测差异教育。
3.3（i）若成年人睡眠权衡工作，更多的工作意味着较少的睡眠（其他条件不变），所以<0。
及（ii）本迹象并不明显，至少对我来说。有人可能会说更多的受过教育的人想获得更加完美的生活，所以，其他条件相同的，他们睡得少（<0）。睡眠和年龄之间的关系是比较复杂的，比这个模型表明，经济学家是不是在最好的位置来判断这样的事情。
（三）由于totwrk以分钟为单位，我们必须转换成5个小时到分钟：的= 5（60）= 300。睡眠预计将下降.148（300）= 44.4分钟。一个星期，45分钟不到的睡眠是不是压倒性的变化。
（四）教育，意味着更无法预知的时间都在睡觉，但效果是相当小的。如果我们假设大学和高中的区别为四年，大学毕业睡每周约45分钟不到，其他条件相同的。
（五）不令人惊讶的是，在三个解释变量解释睡眠只有约11.3％的变异。误差项中的一个重要的因素是全身健康。另一种是婚姻状况，以及是否有孩子的人。健康（但是我们衡量），婚姻状况，数量和年龄段的儿童一般会被相关与totwrk。 （例如，不太健康的人往往会少工作。）
3.4（一）法学院排名意味着学校有威少，这降低起薪。例如，一个100级意味着有99所学校被认为是更好的。
（ⅱ）> 0，> 0。 LSAT和GPA都进入一流的质量的措施。更好的学生参加法学院无论身在何处，我们期望他们赚得更多，平均。 ，> 0。在法库的学费成本的卷数的学校质量的两个措施。 （成本库卷那么明显，但应反映质量的教师，物理植物，依此类推）。
（三）这是对GPA只是系数，再乘以100：24.8％。
（四）这是一个弹性：百分之一的在库量增加暗示了.095％的增长预测中位数的起薪，其他条件相同的情况。
（五）这肯定是具有较低职级，更好地参加法学院。如果法学院有小于法B校排名20，预测差异起薪是100（.0033）（20）=上升6.6％，为法学院A.
根据定义3.5（I）号，学习+睡觉+工作+休闲= 168。因此，如果我们改变的研究，我们必须改变至少一个其他类别的，这样的总和仍然是168。
（ii）由（i）部分，我们可以写，说，作为一个完美的其他自变量的线性函数研究：研究睡眠休闲工作。这适用于每个观察，所以MLR.3侵犯。
（三）只需拖放一个独立的变量，说休闲：
GPA = +学习+睡觉+上班+ U。
现在，例如，GPA的变化，研究增加一小时，睡眠，工作，和u都固定时，被解释为。如果我们持有的睡眠和固定的工作，但增加一个小时的研究，那么我们就必须减少一小时的休闲。等坡面参数有一个类似的解释。
3.6空调解释变量的结果，我们有= E（+）= E（）+ E（）。
3.7（ⅱ），省略了一个重要的变量，可能会导致偏置，并且只有当被删去的变量与所包含的解释变量，这是真实的。同方差的假设，MLR.5表明OLS估计量是公正的，没有发挥作用。 （同方差被用于获得通常的方差的公式）。另外，样品中的解释变量之间的共线性的程度，即使它被反映在高的相关性为0.95，不影响高斯 - 马尔可夫假设。仅当存在一个完美的线性关系，在两个或更多的解释变量MLR.3侵犯。
3.8我们可以用表3.2。根据定义，> 0，假设更正（×1，×2）<0。因此，有一个负偏压：E（）<。这意味着，平均跨越不同随机样本，简单的回归估计低估培训计划的效果。它甚至可以是否定的，即使> 0，E（）。
3.9（一）<0，可以预期，因为更多的污染降低壳体值;注意，相对于nox的价格的弹性。可能是正的，因为房间大致测量的一所房子的大小。 （但是，它并不能够让我们区分每个房
间都是大从家庭每个房间很小的家庭。）
（ii）若我们假设，房间增加家里的质量，然后登录（NOx）和客房呈负相关，贫穷的街区时，有更多的污染，往往是真实的东西。我们可以用表3.2的偏置确定方向。如果> 0和Corr（X1，X2）<0时，简单的回归估计有一个向下的偏差。但是，由于<0，这意味着，平均而言，简单回归夸大污染的重要性。 [E（）是更消极。]
（三）这正是我们所期望的典型样本，根据我们的分析（ii）部分。简单的回归估计，，更多的是负（幅度较大）的多元回归估计，。由于这些估计只有一个样品，我们永远无法知道这是更接近。但是，如果这是一个典型的“样本。
3.10（I）因为是高度相关的，后面这些变量对y的影响有很大的部分，简单和多元回归系数就可以通过大量不同。我们还没有做过这种情况下，明确，但由于方程（3.46）和一个单一的遗漏变量的讨论，直觉是非常简单的。
（二）在这里，我们希望是类似的（主题，当然，我们所说的“几乎不相关”）。量之间的相关性和不直接影响的多元回归估计如果是基本上不相关。
（三）在这种情况下，我们（不必要的）进入回归引入多重共线性：有小部分对y的影响，但高度相关。添加像大幅增加系数的标准误差，所以本身（）很可能要远远大于本身（）。
（四）在这种情况下，增加和减少，而不会造成太大的共线性残差（因为几乎和无关），所以我们应该看到本身（）小于SE（）。量之间的相关性，并不会直接影响本身（）。
3.11从方程（3.22），我们有
的定义中的问题。像往常一样，我们必须插上易建联真实模型：
简化这个表达式中的分子，因为= 0，= 0，=。这些都按照一个事实，即从回归的残差上：零样本平均，并与样品中是不相关的。因此，该分数的分子可以表示为
把这些回分母给出
待所有样本值，X1，X2，X3，只有最后一项是随机，因为它依赖于用户界面。但是，E（ui的）= 0，所以