导;（3）对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0。那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 （5）泰勒公式与麦克劳林公式

泰勒公式：若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+??+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

麦克劳林公式：若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和: f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+??+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1. 两个重要且特殊的麦克劳林公式：

1-1n??1?x??1-x?x2-x3?...??-1??xn?Rn1?x

1-1??1-x??1?x?x2?...?xn?Rn1-x（6）函数的单调区间与极值

单调区间：

设f（x）在区间I（I可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间）上连续，在区间I内部可导

①若x∈I内部，f’（x）?0，则f（x）在区间I上递增 ②若x∈I内部，f’（x）?0，则f（x）在区间I上递减

③若x∈I内部，f’（x）≡0，则f（x）在区间I上是一个常值函数 极限与极值： 判定极限的方法：

f’（x）=0，f’’（x）≠0，则f（x）一定是极限 ①f’（x）=0，f’’（x）＜0，则f（x）取极大值 ②f’（x）=0，f’’（x）＞0，则f（x）取极小值

【误点解析】：使用洛必达法则之后极限不存在，不能直接说原极限不存在

双阶乘：相隔的两个数相乘：如5！！=5×3×1 不动点：g（t）=t的点叫做不动点 f（x） g（x） f（x） = g（x）

f’（x） = g’（x） 满足此条件，即可证明f（x）、f’’（x） = g’’（x） g（x）在x0处n阶相切 ...

f(n)（x）= g(n)（x）

曲率：

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（1）曲率公式为：k?y''?1?y'?322

?y'1?y'2???x-y''?（2）曲率的中心坐标为： ?2???y?1?y'?y''???

(3)曲率半径R?11?y'?ky''?322?

（4）圆的各个位置的曲率是相同的，都是半径的倒数

反函数：如果函数的导数不为0，那么该函数在定义域区间上有反函数 ☆【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】☆

辅助函数是解决许多数学问题的有效工具，中值定理及推导过程中用到了演绎、分析分类等数理逻辑方法和一些具体的方法。如构造辅助函数等等，下面就介绍几种重要的构造辅助函数的方法。

（1）凑导数法

例如：设函数f（x）在【a、b】上连续，在（a、b）内可导，证明：存在ξ∈（a、b），使得2ξ【f（b）-f（a）】=（b2-a2）·f’（ξ）

证明：令F（x）=x2【f（b）-f（a）】-（b2-a2）·f（x）即可 （2）几何直观法

例如：如果f（x）在【0、1】上可导，且0＜f（x）＜1，对于任何x∈（0,1）都有f’（x）≠1，试证在（0,1）有且仅有一点ξ，使得f（ξ）=ξ

证：①令g（x）=f（x）-x

②再用反证法证明其唯一性 （3）常数值法（K）

在构造函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数K值法来构造辅助函数。这种方法一般选取所政等式中含ξ的部分作为K，即将常数部分分离出来令其得K，恒等式变形，令一端为a与f（a）的代数式，另一端为b与f（b）的代数式，将所证等式中的端点值（a或b）改为变量x，移项即为辅助函数F（x）。再用中值定理，待定系数法等方法确定K。一般来说，当问题涉及到高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑运用泰勒公式。

例如：设f（x）在【a、b】上连续，在（a、b）上可导。0＜a＜b。试证明 存在一点??（a、b），使等式f（b）-f（a）?ln???f（'?）ba 18

f（b）-f（a）,f(b)?K?lnb?f（a）-K?lnalnb?lna 证：令b?x，得辅助函数： F（x）?f（x）-K?lnxK?F（'?）?0，f（'?）?，所以K???f（'?）。故得证令K??（4）倒推法

这种证明方法从要证的结论出发，借助与逻辑关系导出已知的条件和结论。 例如：设f（x）在【a、b】（0＜a＜b）上连续，在（a，b）内可导，且

f（a）?b，f（b）?a。证明：在（a，b）内至少存在一点?，使f（'?）?-f（?）

? 证：构造函数：f’（ξ）·ξ+f（ξ）=0即可 （5）乘积因子法

对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。直接构造函数往往比较困难，将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负的函数，证明的结论往往不受影响。

xe?（?是常数）是一个很好的因子

例如：若f（x）在【a、b】上连续，在（a、b）内可导，且f（a）=f（b）

?0.证明：???（a，b），使f（'?）???f（?）

证：结论两侧同时乘以e-?x，然后令F（x）?e-?xf（'x）-e-?x???f（x）

（6）介值法

证明中，引入辅助函数g（x）=f（x）-η·x。将原问题转化为【a、b】内可导函数g（x）的最大值或最小值至少有1个必在内点达到，从而可通过g（x）在【a，b】上的可导条件，直接运用费马定理完成证明。

例如：证明若f（x）在【a，b】上可导，则f（x）可取到f（a）与f（b）之间的一切值

?，令g（x）证明：????f（'a），f（'b）?f（x）-?x由f（x）的性质，g（x）在?a、b?上可导，且g（'x）?f（'x）-?由?的性质，有g（'a）穏（'b）＜0.g（x）-g（a）＞0x?ax-a?由极限性质知，?S＞0.使得当x?Us1（a）时，g（x）＞g（a）不妨设g（'a）＞0，即lim?所以一定存在一点x0，使得f（'x0）?0.?f（'x0）??。得证（7）分离变量法

拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题。以两个中值的情况为例说明如下：

若要证明存在ξ、η∈（a，b），使得f（a，b，ξ，η）=0.则通常应将

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即g（a）不是g（x）（x?（a，b））的最大值。同理，g（b）也不是函数f（a，b，ξ，η）=0改写成“变量分离”的形式，即h（a，b）=δ（ξ）·δ（η）或者h（a，b）=δ（ξ）+δ（η）的形式，然后观察δ（ξ）、δ（η）是否分别拉格朗日公式的右侧。

例如：设g（x）＞0，g'(x)?0。（a?x?b），则存在??（a，b）使得：g'(?)?f(b)?f(a)??g(?)lng(b)g(a)f（b）-f(a)f'(?)证明：将待证明结论转变为：?,令g(x)?lng(x)g'(?)?g(b)?m??g(?)?g(a)?1G'(x)??g'(x),对f(x)和g(x)应用拉格朗日定理得：???(a,b)

g(x)f(b)?f(a)lng(b)?lng(a)1使?f'(?),即??g'(?)b?ab?ag(?)f(b)?f(a)f'(?)b?a又?g(b?ln)?lng(a)g'(?)?g(?)b?a故得证☆【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】☆

（1）使用罗尔定理时用“积分法”或“解微分方程法”构造辅助函数。使用“积分法”构造辅助函数的基本步骤：①将结论等式中的ξ换成x；②对第一步的结果进行变形，使两边求积分；③两边求不定积分；④把第三步的结果化成C=F（x）的形式，其中C为任意常数，且f（x）中不含有C；⑤最后的F（x）就是所要构造的辅助函数。

?a,b?内可导，其中a＞1，且f'(a)?0例如：设f（x）在?a,b?上连续，在b??证明在(a,b)内至少存在一点?，使f(?)??f'(?)ab??b?x分析：将结论等式中f(?)??f'(?)的?都换成x，得到f(x)??f'(x)aaaf'(x)再变形为?,两边积分得：-aln(b?x)?lnc?lnf(x)b?xf(x)?c?(b?x)a?f(x),求得辅助函数为：F(x)?(b?x)a?f(x)证：设F(x)?(b?x)a?f(x),因为F（x）在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且F(a)?0?F(b),所以由罗尔定理知，存在??(a,b)，使得F(?)?0所以：F'(?)??a?(b??)a?1?f(?)?(b??)a?f'(?)?0b??所以：f(?)?f'(?)a

（2）使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。所谓的单边积分法就是：

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