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延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立，即H0:?(1)??(2)????(m)；备选假设：延
迟期数小于或等于m期的序列值之间有相关性，即H1:至少存在某个?(k)?0。 1)
QBP检验统计量
由Box和Pierce推导出的QBP检验统计量为：
?2(k)~?2(m) QBP?n??k?1m(40.21)
式中，n为序列观察期数，m为指定延迟期数。 2)
QLB检验统计量
因为QBP检验统计量在小样本场合时不太精确，所以Ljung和Box又推导出QLB检验统计量为：
?2(k)???2?QLB?n(n?2)??~?(m) ?n?k?k?1??m(40.22)
式中，n为序列观察期数，m为指定延迟期数。m一般取值为6、12。为什么只需要检验前6期和前12期延迟的QLB检验统计量就可以直接判断序列是否为白噪声序列呢？这是因为平稳序列通常具有短期相关性，只要序列时期足够长，自相关系数都会收敛于零。所以，如果序列值之间存在显著的相
关关系，通常只存在在延迟时期比较短的序列值之间，而如果短期延迟的序列之间都不存在显著的相关关系，那么长期延迟之间就更不会存在显著的相关关系。
三、 方法性工具
1. 差分运算
差分运算分为两种：k步差分和1)
p阶差分。
k步差分
相距k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分运算，记为?k，表示xt与xt?k之间的减法
运算，即：
?k?xt?xt?k
2)
(40.23)
p阶差分
相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算，记为?xt，表示xt与xt?1之间的减法
运算，即：
?xt?xt?xt?1
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(40.24)
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对1阶差分运算后序列?xt再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记为?之间的减法运算，即：
2xt，表示?xt与?xt?1?2xt??xt??xt?1
依此类推，对表示?p?1(40.25)
p?1阶差分后序列?p?1xt再进行一次1阶差分运算称为p阶差分，记为?pxt，
xt与?p?1xt?1之间的减法运算，即：
?pxt??p?1xt??p?1xt?1
(40.26)
2. 延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，一个延迟算子乘以当前序列值，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时间刻度，记B为延迟算子，有
Bxt?xt?1B2xt?xt?2Bpxt?xt?pB0?1B(c?xt)?c?xt?1,nni?0 (40.27)
c为常数n!i!(n?i)!(40.28)
iii(1?B)??(?1)nCnB,其中Cn?用延迟算子表示的k步差分为：
?k?xt?xt?k?(1?Bk)xt
用延迟算子表示的
pp阶差分为：
pp?xt?(1?B)xt??(?1)pCipxt?i
i?0(40.29)
四、 ARMA模型
ARMA模型的全称是自回归移动平均（auto regression moving average）模型，它是目前最常用的
拟合平稳时间序列的模型。ARMA模型又可细分为AR模型、MA模型和ARMA模型三大类。 1.
AR(p)模型
具有如下结构的模型称为
p阶自回归模型，简记为AR(p)：
(40.30)
xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t
其中包含三个限制条件：模型的最高阶数为
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p，即?p?0；随机干扰序列?t为零均值的白噪声序列，
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即?t~WN(0,??2)；当期的随机干扰与过去的序列值无关，即Exs?t?0,s?t。
1) 中心化的AR(p)模型
当?0?0时，式(40.30)又称为中心化的AR(p)模型。非中心化的AR(p)序列都可以通过假设满
足平稳性条件，在式(40.30)两边取期望
E，根据平稳时间序列均值为常数的性质，有
Ext??,Ext?1??,?,Ext?p??，且因为?t为零均值的白噪声，有E?t?0，所以：
Ext?E(?0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t)???0??1???2?????p????01??1??2????P
(40.31)
如果把非中心化的AR(p)序列减去上式(40.31)中的?，则转化为中心化AR(p)序列。特别地，对于中心化AR(p)序列，有Ext?0。
2引进延迟算子，设?(B)?1??1B??2B化AR(p)模型可以简记为：
????pBP，又称为p阶自回归系数多项式，则中心
?(B)xt??t
2)
(40.32)
AR(p)模型的方差
要得到平稳AR(p)模型的方差，需要借助于Green函数的帮助。下面以求AR(1)模型的方差为
例来说明：
xt??1xt?1??txt?1??1xt?2??t?1将第二式代入第一式，有
xt??t??1?t?1??12xt?2
当我们继续将xt?2
??1xt?3??t?2代入上式，一直到x1??1x0??1，可得到
xt??t??1?t?1??12?t?2????1t?1?1??tx0????i?0t?1i1t?i??x0t
如果t??，设Green函数为Gj??1j,j?0,1,?，上式可改为
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xt????j?0?j1t?j??j?0Gj?t?j
(40.33)
对xt求方差为
Var(xt)??G2jVar(?t?j)j?0????2(1??12??14????12j????1?)
(40.34)
??2?1??123)
AR(p)模型的协方差
对中心化的平稳模型在等号两边同乘xt?k，再求期望得到
E(xtxt?k)??1E(xt?1xt?k)??2E(xt?2xt?k)????pE(xt?pxt?k)?E(?txt?k)
(40.35)
由AR(p)模型的限制条件，有E(?txt?k)?0，再根据平稳时间序列的统计性质，有自协方差函数只依赖于时间的平均长度而与时间的起止点无关，于是可由(40.35)式得到自协方差函数的递推公式：
?(k)??1?(k?1)??2?(k?2)????p?(k?p)
例如，对于AR(1)模型的自协方差函数的递推公式为：
(40.36)
?(k)??1?(k?1)??1?1?(k?2)??1k?(0)
(40.37)
??2??1??12k14)
AR(p)模型的自相关函数
由于平稳时间序列有自相关函数?(k)??(k)/?(0)，在自协方差函数的递推公式(40.36)等号两
边同除以方差函数?(0)，就得到自相关函数的递推公式：
?(k)??1?(k?1)??2?(k?2)????p?(k?p)
例如，对于AR(1)模型的自相关函数的递推公式为：
(40.38)
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