数学分析选讲课程论文

(11)一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对于定义在区间X上的函数f(x)和g(x)，?L?0,?x',x''?X,有f(x')?f(x'')?Lg(x')?g(x'')成立，而

g(x)在X上一致连续，则f(x)在X上也一致连续。

(12)一般任意区间上的判别法定理：设函数f(x)在区间X上连续，且满足f'(x)在X上有界，则f(x)在X上一致连续。 例1.（1）f(x)?x3,x??0,1?； （2）f(x)?f(x)?1,x?(0,??)； （3）21?xsinx,x?(0,?)。 x解：（1）f(x)?x3,x??0,1?在?0,1?内连续，且limf(x)?0,limx3?1

x?0?x?1?即limf(x)?0,limx3?1都存在，故f(x)在?0,1?一致连续。

x?0?x?1?(2)f(x)?故f(x)?x?0?1在?0,???内连续，且limf(x)?1,lim?0， 21?xx???x?0?1,x?(0,??)一致连续。 1?x2（3）limf(x)?1,lim?0满足定理条件，故f(x)在区间内一致连续。

x??_???上连续，limf(x)?A存在，则f(x)在?0，???上一致连例2.若f(x)在?0，x???续。

证: 因为limf(x)?A，由柯西准则，???0,?M?0当x1,x2?Ms时，有

x???f(x1)?f(x2)??,. a

， 又由于f(x)在?0，M?1?上连续，从而一致连续，故对上述??0，??,1?0，

，当x3,x4??0，M?1?，且x3?x4??1时，有f(x3)?f(x4)??, b

取??min??1,1?则?x',x''??0,???且x'?x''??时，由a, b俩式知

???上一致连续. f(x')?f(x'')??.此即证f(x)在?0，x314???上一致连续。 例3.求证：f(x)?x在?0，ex314???上连续，又由罗比塔法则可证limx?0。由上题 证：因为f(x)在?0，x???e???一致连续。 得f(x)在?0，

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例4．已知f(x)在?a,b?上连续，证明：limf(x)存在。

x?a?证： 由假设???0,???0，对x1,x2??a,b?,x1?x2??,都有f(x1)?f(x2)??, 故当a?x1?a??,a?x2?a??时，有f(x1)?f(x2)??,由柯西准则知limf(x)

x?a?存在。

例5.设f(x)在有限开区间?a,b?上连续，证明：f(x)在?a,b?上一致连续的充要 条件是limf(x)及limf(x)都存在。

x?a?0x?b?0x?0?c,?证: 充分性，设limf(x)?c, limf(x)?b 规定 F(x)??f(x),x?(0,1)

x?a?x?b?0?d,x?1?则F(x)在?a,b?上连续，从而在?a,b?上一致连续，所以f(x)在?a,b?上一致连续。 再证必要性，由上题可证limf(x)存在，类似上题可证limf(x)存在。

x?a?0x?b?0例6.证明：如果一个函数f(x)在区间（0,1）里一致连续，那么存在一个函数F(x)在闭区间?0,1?里连续，并且对任何x?(0,1),F(x)?f(x)。

x?0?c,?F(x)??d存在，存在，令?f(x),x?(0,1) f(?x)?clim_x?1?d,x?0x?1?证：由例5可知lim则F(x)在?0,1?里连续，且F(x)=f(x)，?x?(0,1). 例7.讨论f(x)?sinx在0?x??上的一致连续性。 xx?0?1sinxsin???1,?0, 构造新函数F(x)??f(x)0?x?? 解：因为 limx?sinx?0?0x???则f(x)在?0，??上连续，从而一致连续，所以F(x)在?0，??上连续，从而一致连续所以F(x)在?0，??上连续，所以在其上一致连续。 例8.若函数f(x)在区间I上满足利普希茨条件：

f(x')?f(x'')?Lx1?x2,?x1,x2?I,则f(x)在I上一致连续。

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证：???0，取???L，则当x1,x2?I且x1?x2??时

f(x')?f(x'')?Lx1?x2?L??L??,?x1,x2?I,所以f(x)在I上一致连续。

例9.证明：函数f(x)?xlnx在?1,???上一致连续。 证： 因为 f(x)?xlnx， 所以f'(x)?lnx4xxlnx?22x?0，x??1,???，

f''(x)??0，x??1,???.

故f'(x)单调递减，

11x??0. lim1xx???x'flim(x)?limx???x???lnx?22x?limx???'limf(x)?limx?1x?1lnx?22x?1,

所以f'(x)在?1,???上有界，设

f'(x)?M,x??1,???.

???0,存在???M，那么当x1,x2，??1,???，且x1?x2??时，

f(x1)?f(x2)?f'(?)(x1?x2)?Mx1?x2?M?其中?在x1,x2之间，

由①式f(x)?xlnx在?1,???上一致连续。 例10.已知f(x)==x2.

?M?? ①

(1)证明：对任何实数a?0，f(x)在?0,a?上一致连续； (2)证明：f(x)在?0,???上非一致连续。

证:（1）因为f(x)在?0,a?上连续，根据Cantor定理知在?0,a?上一致连续；

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(2)令

211''xn?n,xn?n?,xn?xn??0nn但

1?1?f(xn)?f(xn)?n2??n???2?2?2，所以x2在?0,???上非一致连续。

n?n????上可导，且limf(x)???，证明：f(x)在?1，???上非例11.设f(x)在?1，'x???一致连续.

证：由limf(x)???知???0，取M?x???'2?，则存在N>0,当x?N时，有

f'(x)?M?2?。

再取x1,x2?N，且x1?x2和x1?x2??2时，

f(x1)?f(x2)?f'(?)?x2?x1??2????上非一致连续。 ??1。所以f(x)在?1，?2三．函数一致连续的比较判别法和比值判别法 1.函数一致连续的比较判别法

定理1.函数f(x)，g(x)?C(I),I??a,???，若满足lim?f(x)?Ag(x)??B成立，

x???（其中：A为非零定值，B为定值），则f(x)，g(x)有相同的一致连续性。 推论1.设函数f(x)，g(x)?C(I),I??a,b?，若满足lim?f(x)?Ag(x)??B成立，

x?b?（其中：A为非零定值，B为定值），则f(x)，g(x)有相同的一致连续性。 推论2.设函数f(x)，g(x)?C(I),I??a,b?，若满足lim?f(x)?Ag(x)??B成立，

x?a?（其中：A为非零定值，B为定值），则f(x)，g(x)有相同的一致连续性。 推论3.设函数f(x)，g(x)?C(I),I??a,b?，若满足

lim?f(x)?ag(x)??b，lim?f(x)?Ag(x)??B

x?a?x?b? 成立（其中：A为非零定值，B为定值），则f(x)，g(x)有相同的一致连续性。 2.函数一直连续的比值判别法

定理1：函数f(x)，g(x)?C(I),I??a,???，f(x),g(x)满足：

（1）limf(x)?limg(x)??；（2）f(x)，g(x)在I上可导，且g'(x)?0；（3）

x??x??? 8