九年级数学培优讲义与测试 下载本文

22??x?y?42.当k? 时,方程组?有两个相同的实数解。

??y?kx?22

xy?2(x?y) x? ,

3. 方程组 yz?3(y?z) 的解是 y? , zx?4(x?z) z? 。

x?y?2 x? ,

4. 方程组 的解是 y? , xy?z2?1 z? 。

4x2?5xy?6y2xy6x?15y? 。 ??5. 若,则22x?2xy?3y3y2x?5yx

6. 已知x、y是正整数,xy?x?y?23,x2y?xy2?120,则x2?y2? 。 7. 若x2?xy?y?14,y2?xy?x?28,则x?y? 。

xy?xz?8?x2 x? ,

8. 方程组 yx?yz?12?y2 的解是 y? ,

zy?zx??4?z2 z? 。

9. 某工程可由若干台机器在规定的时间内完成,如果增加2台机器,则用规定时间的以完成;如果减少2台机器,那么就要推迟

7就可82小时完成.如果用一台机器完成这件工程需 3小时。

x?6?3y, ①

10. 实数x、y、z满足 x?3y?2xy?2z2?0, ②

则x2y?z 的值是 。

二、解答题

?x?y?z?x?y?z?1?5?11. 解方程组?xyz

????234

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x?y?z?3 ①

12. 解方程组 x2?y2?z2?3 ② x5?y5?z5?3 ③ 13. 某校参加初一“迎春杯”竞赛的甲、乙两班学生共a人,其中甲班平均分为70分,乙班平均分为60分该校总分为740分,问甲、乙两班参赛各多少人?

x1?x2?x3?a1 ①

x2?x3?x4?a2 ②

14. 实数x1、x2、x3、x4、x5满足 x3?x4?x5?a3 ③

x4?x5?x1?a4 ④

x5?x1?x2?a5 ⑤

其中a1、a2、a3、a4、a5是常数,且a1?a2?a3?a4?a5,则 x1、x2、x3、x4、x5的大小顺序是如何排列的?

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第九讲 二次函数

知识点、重点、难点

函数y?ax2?bx?c (a、b、c为常数并且a≠0)称为二次函数,其图像称为抛物线,抛物线是轴对称图形。 1.二次函数的形式

(1)一般式:y?ax2?bx?c(a≠0); (2)顶点式:y?a(x?m)?k(a≠0);

(3)交点式:y?a(x?x1)(x?x2),(a≠0,x1、x2是方程ax2?bx?c?0 的两根)。

2.二次函数的性质

y?ax2?bx?c(a≠0)的对称轴为x??当a?0时,在x??b,顶点坐标为b4ac?b2

(?,).2a4a2abb范围内,y?ax2?bx?c单调递减,在x?? 2a2a2范围内y?ax2?bx?c单调递增。当x??b,y有最小值,y最小值?4ac?b.

2a4a 当a?0时,在x??单调递减,当x??b2abb范围内,y?ax2?bx?c单调递减,在x??范围内y?ax2?bx?c2a2a2,y有最大值,y最大值?4ac?b.

4a3.二次函数与二次方程关系

y?ax2?bx?c(a≠0) ax2?bx?c?0(a≠0) △=b2?4ac 图像与x轴有二个交点; 方程有两个不同根; △>0; 图像与x轴有一个交点; 方程有两个相同根; △=0; 图像与x轴没有交点. 方程没有实数根. △<0.

例题精讲

例1:已知抛物线y?x2?(4m?1)x?2m?1与x轴交于两点,如果一个交点的横坐标大于2,

1另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y轴交点在(0,?),的下方,那么m的取值范围

2是什么?

解:设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2,那么(x1?2)(x2?2)?0,那么x1x2?2(x1?x2)?4?把0.x1?x2?4m?1、x1x2?2m?1代入不等

1式得2m-1-2(4m+1)+4<0,解得m?.

6111因抛物线与y轴交点在(0,?)的下方,故2m?1??,解得m?.

224因为△=[?(4m?1)]2?41(2m?1)?16m2?5?0,所以m为一切实数。所以m的取值范围11是?m?. 64

例2:二次函数y?ax2?bx?c的大致图像如图所示。 (1)确定a、b、c和b2?4ac的符号。 (2)如果OA?OC,求证:ac?b?1?0 .第 43 / 97 页

b?0,故b<0;抛物线与y轴交2a点在x轴下方,则c<讯抛物线与x轴有两个交点,则△=b2?4ac>0.

因抛物线与y轴交于C点,即C(0,c).又因为OA=OC,故A(c,0).将A点坐标代入解析式得0?ac2?bc?c,根据图像得c≠0,则ac+b+1=0.

例3:关于x的方程x2?(a2?1)x?a?2?0有两个不相等的实根,一个大于1,另一个小于1,求实数a的取值范围。

解:设f(x)?x2?(a2?1)x?a?2.如图,显然此二次函数与x轴的

x2交点分别在直线x=1的两侧,即x1<1<.仅需

解:抛物线开口向上,则a>0;对称轴在y轴右边,则?f(1)?a2?a?2?(a?2)

(a-1)<0,得a的取值范围是?2?a?1.

例4:讨论方x2?6x?10?m (m为实数)的解的个数与m的关系。

解:讨论方程x2?6x?10?m的解的个数与m的关系,实质上就是讨论y?x2?6x?9与y=m-1的图像交点个数问题。

2??(x?3),x?0;y?? 如图所示,画出其图像。 2(x?3),x?0.?? 当m-1<0时,即m<1,原方程无解; 当m-1=0或m-1>9时,即m=1或m>10时,原方程有两个解;

当m-1=9时,即m=10时,原方程有三个解;当0<m-1<9,即1<m<10时,原方程有四个解。

例5:已知f(m?1)?2m2?3m?2,求f(x).

解:设y?m?1,则m?y?1,代入原式得f(y)?2(y?1)2?3(y?1) ?2?2y2?y?3.所以f(x)?2x2?x?3.

另一种解法:f(m?1)?2m2?3m?2?[2(m?1)?3][(m?1)?1].

设x=m+1,所以f(x)?(2x?3)(x?1)?2x2?x?3.

例6:已知对一切实数k二次函数y?2x2?kx?4k?1都过一定点,求此定点坐标。 解:整理得(x?4)k?(y?2x2?1)?0,因为对一切实数k该式均成立,

?x?4?0?x?4仅需?解得所以二次函数图像过定点(4,33). ?2?y?33.?y?2x?1?0,

习题

A卷

一、填空题

1.如果点M(a,-7)在函数y?3?2x2的图像上,则a= .

2.直线y=kx与抛物线y?3?(x?2)2有公共点,则k的取值范围是 .

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