(3)设粒子经过上方磁场n次
d
由题意知L＝(2n＋2)cot 30°＋(2n＋2)rnsin 30°
2
2vnqBL3L且m＝qvnB，解得vn＝(－3d)(1≤n<－1，n取整数)．
rnmn＋13d
23qBL3【答案】(1)(L－3d)(1－) (2)(－d)
32m64qBL3L
(3)(－3d)(1≤n<－1，n取整数) mn＋13d
3.真空中存在一中空的柱形圆筒，如图所示是它的一个截面，a、b、c为此截面上的三个小孔，三个小孔在圆形截面上均匀分布，圆筒半径为R.在圆筒的外部空间存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，其方向与圆筒的轴线平行，在图中垂直于纸面向里.现在a处向圆筒内发射一个带正电的粒子，其质量为m，带电荷量为q，使粒子在如图所示平面内运动，设粒子只受磁场力的作用，若粒子碰到圆筒即会被吸收，则：
(1)若要粒子发射后在以后的运动中始终不会碰到圆筒，则粒子的初速度的大小和方向有何要求？
(2)如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，则为使粒子以后都不会碰到圆筒，粒子的初速度大小和方向有何要求？
qBR3qBR【答案】(1)，方向从a指向b (2)，方向由a指向圆筒截面的圆心
mm【解析】(1)依题意，粒子进入圆筒后从a指向b，从b进入磁场偏转后只能由c进入圆筒，且方向指向a.画出粒子运动的轨迹如图甲，粒子的偏转角是240°，由图中的几何关系得：粒子运动的圆心一定在圆筒上，而且粒子的半径r＝R.粒子在磁场中运动，洛伦兹力提mv2qBR1
供向心力，所以：qv1B＝，联立得：v1＝.
rm
甲
(2)如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，由粒子运动的对称性可知，粒子运动的轨迹只能是从a到b，然后在外侧的磁场中到c，在圆筒内再到a，然后在外侧的磁场中到b，在圆筒内再到c，然后在外侧的磁场中到a.
乙
粒子运动的初速度方向是从a指向圆心.做出粒子运动的轨迹，粒子运动轨迹如图乙所示，由图可知，cd⊥Oc，bd⊥Ob，所以粒子的偏转角：β＝300°，所以：∠bOd＝60°，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设圆弧的圆半径为r′，粒子的偏转半径：r′＝Rtan 60°＝3R
mv′2由牛顿第二定律得：qv′B＝
r′
3qBR
. m
所以：v′＝
4.如图所示，在边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度L
大小为B.在正方形对角线CE上有一点P，其到CF、CD距离均为，且在P点处有一个发
4射正离子的装置，能连续不断地向纸面内的各方向发射出速率不同的正离子．已知离子的质量为m，电荷量为q，不计离子重力及离子间相互作用力．
(1)速率在什么范围内的所有离子均不可能射出正方形区域？ 13qBL
(2)求速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围．
32mqBLL
【答案】(1)v≤ (2)≤d<
8m4
2＋3L
8
【解析】因离子以垂直于磁场的速度射入磁场，故其在洛伦兹力作用下必做圆周运动． L(1)依题意可知离子在正方形区域内做圆周运动不射出该区域，做圆周运动的半径为r≤.
8v2qBrqBL
对离子，由牛顿第二定律有qvB＝m?v＝≤.
rm8m
13qBLv2mv
(2)当v＝时，设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由qvB＝m可得R＝
32mRqBm13qBL13L
＝·＝. qB32m32
甲
要使离子从DE射出，则其必不能从CD射出，其临界状态是离子轨迹与CD边相切，设切点与C点距离为x，其轨迹如图甲所示，
由几何关系得： LLR2＝(x－)2＋(R－)2，
445
计算可得x＝L，
8
设此时DE边出射点与D点的距离为d1，则由几何关系有：(L－x)2＋(R－d1)2＝R2， L
解得d1＝.
4
乙
而当离子轨迹与DE边相切时，离子必将从EF边射出，设此时切点与D点距离为d2，其轨迹如图乙所示，由几何关系有：
3LR2＝(L－R)2＋(d2－)2，
44
2＋3
8
L
解得d2＝.
L
2＋313qBLL
故速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围为≤d<
32m48
。
5．如图所示，在匀强电场中建立直角坐标系xOy，y轴竖直向上，一质量为m、电荷量为＋q的微粒从x轴上的M点射出，方向与x轴夹角为θ，微粒恰能以速度v做匀速直线运动，重力加速度为g.
(1)求匀强电场场强E；
(2)若再叠加一圆形边界的匀强磁场，使微粒能到达x轴上的N点，M、N两点关于原点O对称，距离为L，微粒运动轨迹也关于y轴对称．已知磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向外，求磁场区域的最小面积S及微粒从M运动到N的时间t.
mgπm2v2sin2θqBL－2mvsin θ2θm
【答案】(1)，方向竖直向上 (2) ＋ qq2B2qBvcos θqBmg
【解析】(1)对微粒有qE－mg＝0，得E＝
q