113c即＋＝，可得a2－c2＝3c2. caa（a－c）又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4. x2y2
所以椭圆的方程为＋＝1.
43
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2).
xy??4＋3＝1，
设B(xB，yB)，由方程组?消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
??y＝k（x－2）8k2－6
解得x＝2或x＝2.
4k＋3
8k2－6－12k
由题意得xB＝2，从而yB＝2. 4k＋34k＋3由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)， 12k?→→?9－4k
有FH＝(－1，yH)，BF＝?2，2?.
?4k＋34k＋3?→→
由BF⊥HF，得BF·FH＝0，
4k2－912kyH9－4k2所以2＋2＝0，解得yH＝. 12k4k＋34k＋3
2
19－4k
因为直线MH的方程为y＝－x＋.
k12k
2
2
2
y＝k（x－2），??2
设M(xM，yM)，由方程组?19－4k消去y，
??y＝－kx＋12k20k2＋9
解得xM＝.
12（k2＋1）
在△MAO中，∠MOA＝∠MAO?|MA|＝|MO|， 即(xM－2)
2
22
＋y2M＝xM＋yM，化简得
20k2＋9
xM＝1，即＝1，
12（k2＋1）
解得k＝－
66或k＝. 44
66
或. 44
所以直线l的斜率为－
x2y25
跟踪训练3 若双曲线2－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
a163答案 3
a2＋16?5?2
解析 由离心率公式，有2＝?3?(a>0)，得a＝3.故填3.
a
题型四 转化与化归思想
将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.
例4 已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为( ) A.(0,0) B.(1，－22) 1
C.(2，－4) D.(，－2)
2答案 D
解析 过点M作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义知|MF|＝|ME|. 当点M在抛物线上移动时，|MF|＋|MA|的值在变化， 显然M移到M′，AM′∥Ox时，A，M，E共线， 此时|ME|＋|MA|最小，把y＝－2代入y2＝8x， 11
得x＝，∴M(，－2).
22
x2y2
跟踪训练4 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为22.
ab(1)求椭圆C的方程；
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第
一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
k′
①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明为定值.
k②求直线AB的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c. 由题意知2a＝4，2c＝22. 所以a＝2，b＝a2－c2＝2. x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
42(2)①证明 设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0). 由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m). 2m－mm
所以直线PM的斜率k＝＝. x0x0
直线QM的斜率k′＝
－2m－m3m
＝－. x0x0
k′k′
此时＝－3.所以为定值－3.
kk②解 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 直线PA的方程为y＝kx＋m.
y＝kx＋m，??22
直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立?xy
＋＝1，??42整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0， 2m2－42（m2－2）
由x0x1＝2，可得x1＝，
2k＋1（2k2＋1）x02k（m2－2）
所以y1＝kx1＋m＝＋m.
（2k2＋1）x0
2（m2－2）－6k（m2－2）
同理x2＝，y＝＋m.
（18k2＋1）x02（18k2＋1）x02（m2－2）2（m2－2）
所以x2－x1＝－
（18k2＋1）x0（2k2＋1）x0－32k2（m2－2）＝， （18k2＋1）（2k2＋1）x0
－6k（m2－2）2k（m2－2）
y2－y1＝＋m－－m
（18k2＋1）x0（2k2＋1）x0－8k（6k2＋1）（m2－2）
＝， （18k2＋1）（2k2＋1）x0
y2－y16k2＋11?1
所以kAB＝＝＝?6k＋k??， 4k4x2－x1由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
16
所以6k＋≥26，当且仅当k＝时取“＝”.
k6x2y2
∵P(x0，2m)在椭圆＋＝1上，
42∴x0＝4－8m2，故此时即m＝2m－m4－8m2－0
＝6， 6
146，符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为. 72
1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.
2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程
的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.
3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.
4.考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程.
5.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.
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