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专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用
一、选择题
1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家
学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N?100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
2．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项
为1，且对任意k?2m，a1,a2,的“规范01数列”共有 （A）18个
（B）16个
（C）14个
（D）12个
,ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同
3．(2015湖北)设a1,a2,2(a12?a2?,an?R，n≥3．若p：a1,a2,2?an)?(a1a2?a2a3?,an成等比数列；q：
222?an?1)?(a2?a3??an?1an)2，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4．（2014新课标2）等差数列?an?的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则?an?的前n项和Sn=
A．n?n?1? B．n?n?1? C．
2n?n?1?22 D．
n?n?1?2
5．（2014浙江）设函数f1(x)?x，f2(x)?2(x?x),f3(x)?1i|sin2?x|，ai?， 399i?0,1,2,???,99，记Ik?|fk(a1)?fk(a0)|?|fk(a2)?fk(a1)|????? |fk(a99)?fk(a98)|，k?1,2,3.则
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A．I1?I2?I3 B． I2?I1?I3 C． I1?I3?I2 D． I3?I2?I1 二、填空题
6．(2018江苏)已知集合A?{x|x?2n?1,n?N*}，B?{x|x?2n,n?N*}．将AB的所有元
素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得
Sn?12an?1成立的n的最小值为 ．
7．（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项
为 ．
8．（2014新课标2）数列?an?满足an?1?1，a2=2，则a1=_________． 1?an9．（2013重庆）已知?an?是等差数列，a1?1，公差d?0，Sn为其前n项和，若a1,a2,a5成等比数列，则S8?_____．
10．（2011江苏）设1?a1?a2???a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，
a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
11．（2011浙江）若数列?n(n?4)()?中的最大项是第k项，则k=_______________． 三、解答题
12．(2018江苏)设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的
等比数列．
(1)设a1?0,b1?1,q?2，若|an?bn|≤b1对n?1,2,3,4均成立，求d的取值范围； (2)若a1?b1?0,m?N*,q?(1,m2]，证明：存在d?R，使得|an?bn|≤b1对
??2n?3?n?2,3,． ,m?1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）
?13．（2017天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n?N)，{bn}是首项为2的等比
数列，且公比大于0，b2?b3?12,b3?a4?2a1，S11?11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
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（Ⅱ）求数列{a2nb2n?1}的前n项和(n?N)．
14．（2017浙江）已知数列{xn}满足：x1?1，xn?xn?1?ln(1?xn?1)(n?N)．
证明：当n?N时 （Ⅰ）0?xn?1?xn； （Ⅱ）2xn?1?xn≤**?xnxn?1； 211（Ⅲ）n?1≤xn≤n?2．
2215．（2016年四川高考）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，
Sn?1?qSn?1 ，其中q>0，n?N* .
（I）若2a2,a3,a2?2 成等差数列，求an的通项公式；
54n?3ny2(Ⅱ)设双曲线x?2?1的离心率为en，且e2?，证明：e1?e2?????en?n?1．
33an216．（2015湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已
知b1?a1，b2?2，q?d，S10?100． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）当d?1时，记cn?an，求数列{cn}的前n项和Tn． bn17．（2015陕西）设fn?x?是等比数列1，x，x2，???，xn的各项和，其中x?0，n??，
n≥2．
（Ⅰ）证明：函数Fn?x??fn?x??2在(,1)内有且仅有一个零点（记为xn），且
12xn?11n?1?xn； 22（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为
gn?x?，比较fn?x?与gn?x?的大小，并加以证明．
218．（2015重庆）在数列?an?中，a1?3，an?1an??an?1??an?0(n?N?)．
（Ⅰ）若??0,???2，求数列?an?的通项公式；
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（Ⅱ）若??111(k0?N?,k0≥2)，???1，证明：2??ak0?1?2?． k03k0?12k0?1
19．(2014山东）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数
列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn=(?1)n?14n,求数列{bn}的前n项和Tn． anan?120．（2014浙江）已知数列?an?和?bn?满足a1a2?an??且a1?2,b3?6?b2. （Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）设cn?2??n?N?．若?a?为等比数列，
bn?n11?n?N?．记数列?cn?的前n项和为Sn． anbn??（ⅰ）求Sn；
?（ⅱ）求正整数k，使得对任意n?N，均有Sk?Sn． n*21．（2014湖南）已知数列{an}满足a1?1,|an?1?an|?p,n?N.
（Ⅰ）若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值； （Ⅱ）若p?1，且{a2n?1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 2x22．（2014四川）设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)?2的图象上
（n?N*）．
（Ⅰ）若a1??2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； （Ⅱ）若a1?1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?求数列{1，ln2an} 的前n项和Tn． bn23．(2014江苏)设数列{an}的前n项和为Sn．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得