【分析】（1）当S=△OMN面积的一半时，分两种情况进行讨论：①点P在ON上；点P在MN上，分别求得点P的坐标； （2）先根据当t=6+5

时，ON+NP=6+5

，NP=5

，PM=

，求得点P的坐

标为（5，1），再作点P关于y轴对称的点P'，作点O关于直线x=的对称点O'，则P'（﹣5，1），O'（，0），连接O'P'，交y轴于点D，交直线x=于点C，则此时PD+DC+OC值最小，等于线段O'P'的长，运用待定系数法求得直线O'P'的解析式为y=﹣

x+

，进而得到C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；

（3）根据旋转过程中△EFB′为等腰三角形，需要分三种情况讨论：当EB'=EF时，当B'E=B'F时，当FE=FB'时，分别求得a的度数与B′点的横坐标的平方． 【解答】解：（1）分两种情况讨论：

①如图1，当点P在ON上时，根据S=△OMN面积的一半，可得点P为NO的中点，

∵OM=6，∠OMN=45°， ∴△MON是等腰直角三角形， ∴ON=6， ∴OP=3， ∴P（0，3）；

第33页（共36页）

②如图1，当点P在MN上时，根据S=△OMN面积的一半，可得点P为NM的中点，

∵△MON是等腰直角三角形，OM=ON=6， ∴P（3，3）；

综上所述，点P的坐标为（0，3）或（3，3）；

（2）∵ON=6， ∴当t=6+5

时，ON+NP=6+5

，NP=5

，PM=

，

∴点P的坐标为（5，1），

如下图，作点P关于y轴对称的点P'，作点O关于直线x=的对称点O'，则P'（﹣5，1），O'（，0），

连接O'P'，交y轴于点D，交直线x=于点C，则此时PD+DC+OC值最小，等于线段O'P'的长，

设直线O'P'的解析式为y=kx+b，则

，解得，

∴直线O'P'的解析式为y=﹣∴当x=时，y=当x=0时，y=

x+， ）；

，即C（，，即D（0，

）；

=

，

此时PD+DC+OC=O'P'=∴PD+DC+OC最小值为

；

第34页（共36页）

（3）①当EB'=EF时，∠B'=∠B'FE=∠MFO=45°， ∵∠FMO=45°，

∴此时∠MOF=90°，即点F与点N重合，即OF=ON， 故△EFB′不存在，不合题意；

②当B'E=B'F时，如图，过点B'作B'H⊥OM于H，过点F作FG⊥OM于G，则FG∥B'H，

∵∠EB'F=45°，

∴∠B'FE=∠MFO=67.5°=∠MFO， 又∵∠OMF=45°， ∴∠MOF=67.5°，

∴a的度数=∠BOB'=112.5°， 此时MF=MO=6， ∴Rt△MFG中，FG=MG=3∴OG=6﹣3

，

=

，即+1）OH，

=

，

，

由FG∥B'H，可得∴B'H=

OH=（

∵Rt△OHB'中，OH2+B'H2=B'O2， ∴OH2+（

+1）2OH2=62，

，即B′点的横坐标的平方为18﹣9

；

解得OH2=18﹣9

③当FE=FB'时，如图，过点B'作B'H⊥OM于H，

第35页（共36页）

∵∠EB'F=∠FEB'=45°， ∴∠EFB'=90°=∠MFO， 又∵∠OMF=45°， ∴∠MOF=45°，

∴a的度数=∠BOB'=135°，

此时，Rt△OHB'中，OH2=B'O2=×36=18，即B′点的横坐标的平方为18． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形和平行线，运用分类讨论思想进行求解．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．

第36页（共36页）