小学奥数讲座（一）
所以，原式的乘积为111···111???????09888···888???????900。
2012个12012个8那么原式乘积的数字和为1×2012+8×2012+9×2=18126。 【4】计算222···222???????×222···222???????的积。
2013个22013个2【分析与解】我们先还是同上例来凑成999···999???????。
k个922222···222???????×222···222???????=9×999···999???????×222···222???????=9×（1000···000???????-1）×222···222???????
2013个22013个22013个92013个22013个02013个2=
11×（1000···000-1）×=444···444??????????????9×（444···444???????000···000???????-444···444??????? 92013个02013个42013个42013个02013个41×444···444·49382716·61728395???????3555···555???????6=49382716··?????????????493826172839561728395··?????????????617284 92012个42012个5223个49382716222个61728395=
444444444÷9=49382716，555555555÷9=61728395。 二、提出公因式
有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等。 【5】计算：（1998+19981998+199819981998+?+1998···1998）÷（1999+19991999+199919991999+??????????1998个1998+1999···1999）×1999 ?????????1999个1999【分析与解】1998···1998=1998×10011001···10011001??????????????????????
1998个19981998个1001（1998+19981998+199819981998+?+1998···1998）÷（1999+19991999+199919991999+?+1999···1999）??????????????????1998个19981999个1999×1999=1998（1+10001+100010001+?+10011001···10011001?????????????）÷［1999×（1+10001+100010001+?
1998个1001+10011001··］×1999=1998÷1999×1999=1998。 ·10011001?????????????）
1998个1001【6】试求1993×123×999999乘积的数字和为多少？
【分析与解】我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与（1000000-1）的乘积，但是1993×123还是有点繁琐。
设1993×123=M，则（1000×123=）123000＜M＜（2000×123=）246000，所以M为6位数，并且末位不是0； 令M=abcdef，则M×999999=M×（1000000-1）=1000000M-M=abcdef000000-abcdef
=abcde（f?1）999999+1-abcdef=abcde（f?1）（9?a）（9?b）（9?c）（9?d）（9?e）（9?f）+1 =abcde（f?1）（9?a）（9?b）（9?c）（9?d）（9?e）（9?f?1）
那么，这个数的数字和为：a+b+c+d+e+（f-1）+（9-a）+（9-b）+（9-c）+（9-d）+（9-e）+（9-f+1）=9×6=54。 所以，原式的计算结果的数字和为54。
【评注】M×999···999。 ???????的数字和为9×k（其中M的位数为x，且x≤k）
k个9【7】试求9×99×9999×99999999×?×
999···999???????×999···999???????×999···999???????乘积
256个9512个91024个9第9页
小学奥数讲座（一）
的数字和为多少？
【分析与解】通过上题的计算，由上题评注：设9×99×9999×99999999×?×999···999???????×999···999???????=M，
256个9512个9于是M×999···999???????类似上题评注的情况，于是，确定好M的位数即可；
1024个9 注意到9×99×9999×99999999×?×999···999???????×999···999???????=M，则M＜10×100×10000×100000000
256个9512个9×?×1000···000???????×1000···000???????=1000···000???????，其中k=1+2+4+8+16+?+512=1024-l=1023；即M＜
256个0512个0k个01000···000???????，即M最多为1023位数，所以满足上题评注的使用条件，那么M与999···999???????乘积的数字和
1023个01024个9为1024×9=10240-1024=9216。原式的乘积数字和为9216。 三、递推法的运用
有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法。
【8】我们定义完全平方数A=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方？
【分析与解】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解： 121=11；12321=111；1234321=1111??于是，我们归纳为1234?n?4321=（111···111???????）
n个12
2
2
2
2
2
2
2
2
所以，1234567654321=1111111；则，1234567654321×49=1111111×7=7777777，所以，题中原式乘积为7777777的平方。
【评注】以上归纳的公式1234?n?4321=（111···111???????），只有在n＜10时成立。
n个12
【9】①444···444???????888···888???????9=A，求A为多少？②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
2004个42003个82
【分析与解】方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解：
①注意到有444···444???????888···888???????9可以看成444···444???????888···888???????9，其中n=2004；
2004个42003个82
n个42
（n?1）个82
寻找规律：当n=1时，有49=7；当n=2时，有4489=67；当n=3时，有444889=667；?? 于是，类推有444···444???????7 ???????888···888???????9=666···6662004个42003个82003个62
方法二：下面给出严格计算：
444···444???????000···000???????+888···888???????+1 ???????888···888???????9=444···4442004个42003个82004个42004个02004个8=111···111???????×（4×1000···000???????+8）+1=111···111???????×［4×（999···999???????+1）+8］+1
2004个12004个02004个12
2004个9=111···111???????×（4×999···999???????+12）+1=（111···111???????）×36+12×111···111???????+1
2004个12
2
2004个92004个12
2004个1=（111···111???????）×6+2×（6×111···111???????）+1=666···666???????72004个12004个12
2003个6②由①知444···444于是数字和为（4n+8n-8+9）=12n+1=2005；于是，n=167，???????7，???????888···888???????9=666···6662004个42003个82003个6 第10页
小学奥数讲座（一）
所以，444···444???????7，所以存在，并且为444···444???????888···888???????9=666···666???????888···888???????9。
167个4166个8166个62
167个4166个8【10】计算666···666???????×9×333···333???????的乘积是多少？
2008个62008个3【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；66×9×33=19602；666×9×333=1996002；??于是，猜想666···666???????×9×333···333???????=1999···999???????6000···000???????2
n个6n个3（n?1）个9（n?1）个0666···666???????×9×333···333???????=1999···999???????000···000???????2
2008个62008个32007个92007个0【评注】我们与题l对比，发现题1为666···666???????×9×333···333???????使用递推的方法就有障碍，
2008个62008个3999···999???????=10-l这种方法适用面要广泛一点。
k个9k
【练习】
【1】设N=666···666???????×9×777···777???????，则N的各位数字之和为多少？
2006个62007个7
【2】乘积999···999???????×999···999???????的积是多少？各位数字之和又是多少？
1999个91999个9
【3】试求111···111???????×111···111???????的各位数字之和是多少？
2008个12008个1
第4讲 比例和百分数
【内容概述】
成本、利润、价格等基本经济术语，以及它们之间的关系。各种已知数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算。 【典型问题】
【1】迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56%，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16%。那么，原计划生产插秧机多少台？ 【分析与解】5040÷（1+16%-56%）=8400（台）。
【2】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元。问圆珠笔的单价是每支多少元？ 【分析与解】设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，
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小学奥数讲座（一）
则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元。所以，圆珠笔的单价是O.5×4=2（元）。 【3】李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内.已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的
11卖给商店，卖43给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%。原来东、西两院
一共养鸡多少只？
【分析与解】方法一：设原来东西两院一共养鸡x只，那么西院养鸡（40-x）只。 依题意：（x-40）×（1-12111-）+40=x，解出x=280。即原来东、西两院一共养鸡280只。 432121212方法二：50%即，东、西两院剩下的鸡等于东院的加上西院的，即20+西院原养鸡数。 有东院剩下40只鸡，西院剩下原1-11515-=的鸡。所以有西院原养鸡（40-20）÷（-）=240只，即原来4312212东、西两院一共养鸡40+240=280只。
【4】用一批纸装订一种练习本。如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185本，则还剩下
1350张纸。这批纸一共有多少张？
【分析与解】方法一：装订120本，剩下40%的纸，即用了60%的纸。
那么装订185本，需用185×（60%÷120）=92.5%的纸，即剩下1-92.5%=7.5%的纸，为1350张。所以这批纸共有1350÷7.5%=18000张。
方法二：120本对应（1-40%=）60%的总量，那么总量为120÷60%=200本。
当装订了185本时，还剩下200-185=15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350÷15=90张，那么200本需200×90=18000张，即这批纸共有18000张。
【5】有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人。那么现有男同学多少人？ 【分析与解】男生增加25人，女生减少5%，而总人数增加了16人，说明女生减少了25-16=9人，那么女生原来有9÷5%=180人，则男生有325-180=145人。增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人。 【6】有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25%那么，这堆糖果中有奶糖多少块？ 【分析与解】方法一：原来奶糖占
459251=，后来占=，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果10020100499-1）=20块。其中奶糖有20×=9块。 2020多16粒，从而原来的糖果是16+（4×
方法二：原来奶糖与其他糖（包含水果糖）之比是45%：（1-45%）=9：11， 设奶糖有9份，其他糖（包含水果糖）有11份。
现在奶糖与其他糖之比是25%：（1-25%）=1：3=9：27，奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而
其他糖也恰好增加了16块，所以，l份即1块，奶糖占9份，就是9块奶糖。
【7】甲乙两包糖的重量比是4：l，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7：5。那么两包糖重量的总和是多少克？
【分析与解】两包糖数量的总数是10÷（
47132-）=10÷=46克。
4?17?56013【8】有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走
的都是黑子；现在，在所有的棋子中，白子将占32%。那么，共有棋子多少堆？
【分析与解】方法一：设有x堆棋子，每堆有棋子“1”。根据拿走黑子白子总数不变，列方程得x×28%=（x-）×32%，化简得28x=32（x-），两边同除以4，得7x=8（x-），解得x=4。即共有棋子4堆。
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