23．阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，∠AOB=80°，OC平分∠AOB．若∠BOD=20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．

以下是小明的解答过程：

解：如图1，因为OC平分∠AOB，∠AOB=80°，

所以?BOC=________?AOB=_________°． 因为∠BOD=20°，

所以?COD? °．

小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部” ． 图1

完成以下问题： （1）请你将小明的解答过程补充完整；

（2）根据小静的想法，请你在图2中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时∠COD的度数

为 °．

图2

24．对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a(a?b)?1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，

例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(?3)⊙(?5)＝?3?(?3?5)?1?23． （1）求(?2)⊙3的值；

（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：

12m⊕n＝ （用含m，n的式子表示）．

25．自2014年5月1日起，北京市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表：

户年用水量阶梯 （m） 第一阶梯 0～180（含） 第二阶梯 181～260（含） 第三阶梯 260以上 3水价 （元/m） 5 7 9 33分类价格（元/m） 水费 2.07 4.07 6.07 1.57 1.36 水资源费 污水处理费 3例如，某户家庭年使用自来水200 m，应缴纳：180×5+（200－180）×7=1040元； 某户家庭年使用自来水300 m，应缴纳：180×5+（260－180）×7+（300－260）×9=1820元． （1）小刚家2016年共使用自来水170 m，应缴纳 元；小刚家2017年共使用自来

水260 m，应缴纳 元．

（2）小强家2017年使用自来水共缴纳1180元，他家2017年共使用了多少自来水？

3

3

3

26．如图，数轴上点A,B表示的有理数分别为-6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A,B重合），

M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为 ；若点P表示的有理数是6，那么

MN的长为 ．

（2）点P在射线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请

写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．

27．观察下面的等式：

51?1????2+3； 223?1???1?2+3；

1?1??1?2+3；

15(?)?1???2+3； 22

(?2)?1??4?2+3．

回答下列问题：

（1）填空： ?1??5?2+3；

（2）已知2?1??x?2+3，则x的值是 ；

（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．