高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析（含答案）
? ?ti－t??yi－y?
? ?ti－t?2
nn
^
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝
i＝1
^^，a＝y－b t.
i＝1
解 (1)由所给数据计算得
1
t＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
7
1
y＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
7
i＝1
? (ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
7
7
i＝1
? (ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9
＋3×1.6＝14，
^b＝
i＝1
? ?ti－t??yi－y?
? ?ti－t?2
7
7
14
＝＝0.5， 28
i＝1
^^
a＝y－b t＝4.3－0.5×4＝2.3， ^
所以所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.
^
(2)由(1)知b＝0.5>0，故2007年到2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均^
每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8.故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
[学习目标] 1.了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用.2.理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中K2的含义及其实施步骤．
高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析（含答案）
知识点一 两个分类变量之间关联关系的定性分析
1．分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的变量和值进行理解，它们取的不一定是具体的数值． 2．列联表
列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为：
x1 x2 总计 y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d 3.两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法 (1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系．通常通过列联表列出两个分类变量的频数表来进行分析． (2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征． 知识点二 独立性检验
1．定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． n?ad－bc?2
2．K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
3．独立性检验的具体做法
(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.
(2)利用公式计算随机变量K2的观测值k.
(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
题型一 有关“相关的检验”
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例1 某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：
用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？
男生 女生 总计 解 判断方法如下：
假设H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H0成立，则K2应该很小． ∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79， n?ad－bc?2
∴K＝ ?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
体育 21 6 27 文娱 23 29 52 总计 44 35 79 79×?21×29－23×6?2＝≈8.106.
44×35×27×52
且P(K2≥7.879)≈0.005即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．
n?ad－bc?2
反思与感悟 (1)利用K＝求出K2的观测值k的值．再利用临界值
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
的大小来判断假设是否成立．(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．
跟踪训练1 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据：
每一晚都打鼾 不打鼾 总计 患心脏病 30 24 54 未患心脏病 224 1 355 1 579 总计 254 1 379 1 633 根据独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系？
解 由列联表中的数据，得K2的观测值 1 633×?30×1 355－224×24?2k＝ 254×1 379×54×1 579≈68.033>10.828.
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因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系． 题型二 有关“无关的检验”
例2 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？ 解 列出2×2列联表
有兴趣 无兴趣 总计 代入公式得K2的观测值
361×?138×52－73×98?2－k＝≈1.871×104.
236×125×211×150
∵1.871×104＜2.706，∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．
－
理 138 98 236 文 73 52 125 总计 211 150 361 反思与感悟 运用独立性检验的方法：
(1)列出2×2列联表，根据公式计算K2的观测值k. (2)比较k与k0的大小作出结论．
跟踪训练2 在一次恶劣天气的飞行航程中调查男女乘客在飞机上晕机的情况如下表所示，根据此资料是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男人比女人更容易晕机？
男人 女人 总计 晕机 24 8 32 不晕机 31 26 57 总计 55 34 89 解 根据列联表中的数据，可得K2的观测值为 89×?24×26－31×8?2k＝≈3.689.
55×34×32×57∵P(K2≥3.841)≈0.05，且3.689<3.841，
∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男人比女人更容易晕机． 题型三 独立性检验的基本思想
例3 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间(单位：时)的样本数据．
(1)应收集多少位女生的样本数据？