各种SAR成像算法总结
1 SAR成像原理
SAR成像处理的目的是要得到目标区域散射系数的二维分布，它是一个二维相关处理过程，通常可以分成距离向处理和方位向处理两个部分。在处理过程中，各算法的区别在于如何定义雷达与目标的距离模型以及如何解决距离－方位耦合问题，这些问题直接导致了各种算法在成像质量和运算量方面的差异。
一般来说，忽略多普勒频移所引起的距离向相位变化，距离向处理变为一维的移不变过程且相关核已知，即退化为一般的脉冲压缩处理；同时将雷达与目标的距离按2阶Taylor展开并忽略高次项，则方位向处理也是一个一维的移不变过程，并退化为一般的脉冲压缩处理，这就是经典的距离多普勒（Range-Doppler RD）算法的实质。
若考虑多普勒频移对距离向相位的影响，同时精确的建立雷达与目标的距离模型，则不论距离向处理还是方位向处理都变为二维的移变相关过程。线性调频尺度变换（Chirp-Scaling CS）算法即在此基础之上将二维数据变换到频域，利用Chirp Scaling原理及频域的相位校正方法，对二维数据进行距离徙动校正处理、距离向及方位向的聚焦处理，最终完成二维成像处理。
当方位向数据积累延迟小于全孔径时间（即方位向为子孔径数据）的情况下，方位向处理必须使用去斜（dechirp）处理及频谱分析的方法。在RD和CS算法的基础之上，采用dechirp处理及频谱分析的方法完成方位向处理的算法分别称为频谱分析（SPECAN）算法和扩展CS（Extended Chirp Scaling ECS）算法。
1.1 SAR成像原理
本节以基本的正侧视条带工作模式为例，对SAR的成像原理进行分析和讨论。
正侧视条带SAR的空间几何关系如下图所示。图中，αoβ平面为地平面，oγ
垂直于αoβ平面。SAR运动平台位于S点，其在地面的投影为G点。SAR运动平台的运动方向Sx平行于oβ，速度大小为va。SAR天线波束中心与地面的交点为C，CG与运动方向Sx垂直；S与C的距离为Rs，?B1SB2称为天线波束的方位向宽度，大小为?a。P为测绘带内的某一点，一般情况下取斜距平面CSP进行分析，称SAR运动的方向Sx为方位向（或方位维），称天线波束指向方向SC为距离向（或距离维）。
xγSvaβaR(t)βGovatRsCB2P测绘带B1Xα 正侧视条带SAR几何关系示意图
假定P的方位向坐标为X；在t时刻，SAR运动平台S与P的距离为R?t?。若当t?0时刻，SAR运动平台位于方位向0点，则当t时刻，R(t)的表达式为：
R(t)?Rs?(vat?X) 22(1.1)
将式(1.1)在t?X/Va附近进行2阶Taylor展开，有：
?X??X???X??X?1X????R(t)?R???R???t???R???t??
VVV2VVa?a??a??a???a??2(1.2)
?Rs?(vat?X)2Rs2
假设雷达发射连续的正弦波，即发射信号st(t)为：
st(t)?Re[Aej?ct] (1.3)
其中，A为发射正弦波的幅度，?c为发射信号的载频。
发射信号st(t)经点目标P散射后，雷达接收机收到的信号sr(t)为：
sr(t)?ReKAe?j?c(t??)F(x)
?(1.4)
其中：c为光速，K为复常数，?为回波信号相对于发射信号的时间延迟：
??2R(t)/c
(1.5)
F(x)为考虑雷达水平方向增益变化而引入的加权函数。若不考虑雷达天线
的加权作用，即令F(x)?1，则式(1.4)变为：
sr(t)?ReKAe?j?c(t??)?
(1.6)
根据式(1.6)，雷达运动平台相对于点目标的运动将造成回波信号的相位随时间不断变化，从而引起回波瞬时频率的变化，产生多普勒频移。多普勒频移量
fd(t)为：
fd(t)??1d(?c?)2?dt??1d?2?cR(t)??? 2?dt?c?(1.7)
将式(1.2)内的R(t)代入可得：
fd(t)??1d?2?cR(t)??? 2?dt?c?(1.8)
??2vd?2?cRs22???1?(vt?X)/2R??(t?t0) ?as???2?dt?c?Rs?12a其中：?为雷达工作波长，且??2?c/?c，t0?X/va为雷达波束中心通过P点的时间。
回波信号的瞬时频率fr(t)为：
fr(t)?fc?fd(t)?fc?2va2?Rs(t?t0)
(1.9)
由式(1.9)可知，多普勒频移的存在将使回波信号的瞬时频率在载波频率?c附近作线性变化。也就是说，由于雷达运动平台匀速直线前进，回波信号sr(t)在方位向将为线性调频（chirp）信号：
???sr(t)?Re?KAexp????2????4?Rs2?va?2j??ct??(t?t0)???
??Rs?????(1.10)
其中4?R0/?为固定相位项，略去后，式(1.10)可简化为：
???sr(t)?Re?KAexp????2????2?va?2j??ct?(t?t0)???
?Rs?????(1.11)
通常为便于对回波信号进行处理，需要将回波信号经频率变换调至较低频率
f0，回波多普勒频率将以f0为中心变化。中心频率f0称为偏置频率。因此有：
fdet(t)?f0?2va2?Rs(t?t0)
(1.12)
式中fdet(t)表示回波信号经变频处理将载频降至偏置频率后的瞬时频率变化。通常称它为点目标回波信号的多普勒频率历史，简称多普勒历史。
由式(1.12)可见，多普勒历史是一按负斜率变化的chirp信号，其调频斜率fdr为：
fdr??2va/?Rs
2(1.13)
即点目标回波信号的调频斜率与va2成正比、与Rs成反比。
点目标横过波束的最大距离Ls称为合成孔径长度，其大小与Rs以及方位向波束宽度?a有关；点目标横过波束的时间称为合成孔径时间Ts。有：
Ls??aRs
Ts?Ls/va??aRs/va
(1.14) (1.15)
在合成孔径时间里，多普勒频率的变化范围称为多普勒带宽，用Ba表示。由式(1.14)、(1.15)得到Ba的表达式为：
Ba?12?fdrTs?2va2?RsTs?2?ava?
(1.16)
考虑到对于方位向天线直径为Da的天线，近似有：
?a??Da
(1.17)
因此，SAR的方位向理论分辨率?a为：
?a?vaBa?va2va?a/??Da2
(1.18)
从上述分析可以看出，由于雷达运动平台作等高匀速直线运动，使得目标的回波信号在方位向上具有线性调频特性，对回波信号进行脉冲压缩处理，可以获得方位向的高分辨率。在理想情况下，SAR方位向分辨率与雷达平台的速度、飞行高度、作用距离、雷达工作波长等参数无关，只与天线尺寸有关，为天线方位向口径尺寸的一半，这是SAR的一大特点和优势。
1.2 SAR回波信号模型
1.1节分析了SAR成像的基本原理，本节推导SAR回波信号的数学模型，给出SAR信号处理的理论基础。
chirp信号是SAR系统中最常用的发射信号形式。假设雷达发射的chirp脉冲串st(t)为：
n??st(t)??n???p(t?nPRT) (1.19)
其中，
p(t)?s0?t?cos?2?f0t??(t)? ?(t)??krt
s0?t?为发射信号的包络，kr2
为chirp信号的调频斜率，?s为发射信号脉宽，为脉冲重复周期。则雷达于时刻t，接收到斜距
f0为发射信号的中心频率，PRT为R(t)处目标反射的回波信号sr(t)为：
R(t)??sr(t)???Wa?t??stc???2R(t)?? t???c??(1.20)
??n?????Wa?t???R(t)??2R(t)? pt?nPRT???c?c???其中，?为目标的后向散射特性，Wa(?)为方位向的天线方向性函数，c为光速。
sr(t)经正交解调后的复信号s(t)可以表示为：
?s(t)??n?????Wa?t??4??R(t)??s0?t?nPRT?2R(t)/c?? c??(1.21)
exp??j????R(t)?exp?j????2R(t)???t?nPRT?? ??c???其中，?为雷达工作波长。式(1.21)中的两个指数项分别代表方位向的相位调制和距离向发射的相位调制。
考虑到相对于雷达发射脉冲而言，Wa(t)和R(t)是时间t的慢变化函数，可以作如下近似：
Wa(t)?Wa(nPRT)
(1.22) (1.23)
R(t)?R(nPRT)
同时，将时间t分解为快时间分量?和慢时间分量ta之和，即：
t???ta，ta?k?PRT
(1.24)
通过变量置换，可以将s(t)转换成二维形式：
4???s(?,ta)???Wa(ta)exp??jR(ta)??ta
??? ??(ta)????????2R(ta)?? ?????s0???exp?j?(?)??c??(1.25)
???Wa(ta)exp??j??4??R(ta)????2R(ta)??????? c?? ??(ta)s0???exp?j?(?)??
其中，?t表示对ta的卷积，??表示对?的卷积，?表示二维卷积。
a因此，雷达系统接收回波信号的过程，可以看作是地面目标的后向散射特性通过一个线性系统的过程。式(1.25)可简化表示为：
s(?,ta)???h(?,ta)
(1.26)
其中，h(?,ta)为线性系统的冲激响应函数：
4???h(?,ta)?Wa(ta)exp??jR(ta)??
???(1.27)
??????2R(ta)???s0???exp?j?(?)? ?c?式(1.27)可以进一步表示为：
h(?,ta)?h1(?,ta)??h2(?)
(1.28)
其中，
4???h1(?,ta)?Wa(ta)exp??jR(ta)?????2R(ta)??????
c??(1.29)
h2(?)?s0???exp?j?(?)?
(1.30)
则式(1.26)可进一步表示为：
s(?,ta)???h1(?,ta)??h2(?)
(1.31)
式(1.29)中，h1(?,ta)的指数项代表了由于雷达运动平台与目标间相对运动所带来的方位向相位调制。如果对R(ta)采用式(1.2)所示的2阶Taylor展开方式，则回波的方位向相位为慢时间ta的2次函数，即一个chirp信号；h1(?,ta)的冲击函数表达式代表了由于相对运动，回波包络的中心在距离向上的位置发生变化，即距离徙动现象。
2 RD算法原理
RD算法流程如下图所示，包括距离压缩处理、方位压缩处理两个主要处理步骤，以及作为辅助处理步骤的距离徙动校正处理。由于具有概念简单、易于实现、处理效率高等优点，RD算法成为最经典、最成熟的SAR成像处理算法。
原始数据距离徙动校正处理距离向FFT方位向FFT距离向参考函数方位向参考函数距离向IFFT方位向IFFT成像结果 RD算法流程
RD算法的本质是对R(ta)采用式(2.2)所示的2阶Taylor展开方式，将距离向处理和方位向处理解耦，分解为两个一维处理分别完成。其中距离向处理利用脉冲压缩技术实现距离向高分辨，方位处理则利用回波中的多普勒信息完成方位高分辨。
2.1 RD算法的距离向处理
SAR回波信号的表达式为：
s(?,ta)???h1(?,ta)??h2(?)
(2.1)
其中，
4???h1(?,ta)?Wa(ta)exp??jR(ta)?????h2(?)?s0???exp?j?kr?22R(ta)??????
c??(2.2)
?
(2.3)
由于h2(?)为chirp 信号，距离向处理就是针对h2(?)完成匹配滤波处理。选取距离向处理参考函数gr???：
*2? gr????h2?????s0????exp??j?k?r??(2.4)
则距离向处理后的信号近似为：
sr(?,ta)?s(?,ta)??gr???
* ???h1(?,ta)??h2(?)??h2(??)
(2.5)
???h1(?,ta)??Ar???
其中，Ar???为距离向处理结果的包络，当发射信号的包络s0???为门函数时：
s0?????????1,??s?rect?2 ????s??0,otherwise?(2.6)
Ar???为sinc函数：
Ar????sinc??Br???sin??Br???Br?
(2.7)
其中Br?kr?s为发射信号的带宽，?s为发射脉冲宽度。一般情况下为了获得距离向的高分辨，发射脉冲的带宽Br很大，此时Ar???近似为?函数。
2.1.1 距离徙动校正处理
将距离向处理结束后的信号sr(?,ta)重写如下：
sr(?,ta)???h1(?,ta)??Ar???
4??? ???Wa(ta)exp??jR(ta)?Ar???2R(ta)/c?
???(2.8)
由于在不同的慢时间ta，雷达和目标的距离R(ta)不同，因此式(2.47)中距离向处理结果包络Ar???的最大值随慢时间的变化出现在不同的距离向位置上，这种现象称为距离徙动现象。
距离徙动现象的本质是回波信号的方位向和距离向发生耦合，如果要进行精确成像，方位向就需要进行二维相关处理。为了使信号的方位向与距离向解耦，从而简化方位处理，使之变为一维相关处理，就需要在方位向处理之前进行距离徙动校正，使式(2.8)变为如下形式：
4???sr(?,ta)???Wa(ta)exp??jR(ta)??Ar???2Rref/c?
???(2.9)
其中，Rref为不随慢时间ta变化的参考距离。 对(2.8)中的斜距R(ta)按二阶Taylor展开，有：
R(ta)?Rs?(vata?X)2Rs2
(2.10)
式(2.8)可以改写为如下形式：
2????X??sr(?,ta)???Wa(ta)exp?j?fdr?ta????
va??????(2.11)
??(vata?X)?? Ar???2?Rs??/c?
2Rs????2其中，fdr为回波方位向多普勒调频斜率。
处于不同方位向位置X的点目标，其距离徙动变化曲线R(ta)各不相同。在实际处理过程中，必须针对不同方位向位置X逐一进行距离徙动校正处理。为了简化距离徙动校正处理，减小处理量，可以利用方位向回波chirp信号的时频关系：
fa?fdr?X???ta??
va??(2.12)
使得R(ta)随方位向频率的表达式R(fa)与目标所处的方位向位置X无关：
R(fa)?Rs??vafa/fdr?22Rs (2.13)
对式(2.12)进行方位向Fourier变换，得到方位向频域信号Sr(?,fa)：
2?fa??fa?Sr(?,fa)???Wa(fa)?rect??? ?exp??j?Bfdr??a?????vafa/fdr? Ar???2?Rs??2Rs???2???/c? ????(2.14)
ta?x/va ：表示压缩后的sinc信号 taB2 taB1 目标B的时域徙动曲线 taB0 fa 目标A，B的频域徙动曲线 taA2 taA1 faA0,faB0 目标A的时域徙动曲线 faA1,faB1 taA0 faA2,faB2 R1 R2 R0 R1 R2 R0
两个点目标A，B的距离徙动曲线时域及频域示意图
可见将数据变换到方位向频域以后，不同方位向位置的点目标的距离徙动曲线将重合起来。上述过程如上图所示。
距离徙动校正处理的实际工作过程一般是针对方位向频域信号Sr(?,fa)，根据式(2.13)由方位向频率fa计算出R(fa)的大小，然后对Sr(?,fa)进行相应的距离向移位操作。
2.2 RD算法的方位向处理
经过距离徙动校正处理的信号sRMC(?,ta)可以表示为：
??sRMC(?,ta)???Wa(ta)exp?j?fdr??2?X????ta????
va????(2.15)
Ar???2Rref/c?
其中，Rref为距离徙动校正后的参考距离，一般情况下为Rs；fdr为方位向多普勒调频斜率：
fdr??2va2?Rs
(2.16)
因此sRMC(?,ta)是一个在距离向Rs处出现，方位向中心位于X/va，调频斜率为?2va2/?Rs的chirp信号。
构造方位向参考函数ga?ta?：
ga?ta?2?2va2??exp?j?ta?
?Rs??(2.17)
对sRMC(?,ta)进行方位向脉冲压缩处理，处理后的信号为：
sa(?,ta)?sr(?,ta)?ga?ta?
?X? ???Wa?ta?Aa?ta??Ar???2Ra/c?
va??(2.18)
其中，Aa?ta?为方位向处理结果的包络，通常情况下也是一个sinc函数。
3 SPECAN算法原理
SPECAN算法是在RD算法的基础之上发展出来的一种时域和频域混合的SAR成像算法，其距离向处理方法与RD算法相同，而方位向处理方法则与RD算法不同。RD算法的方位向处理采用的是基于相关处理的脉冲压缩算法；而SPECAN则利用方位向信号的线性调频特性，利用去斜（dechirp）处理和频谱分析方法实现方位向的聚焦。
3.1 dechirp处理和频谱分析方法
对于chirp信号c?t?
?t?t0??j?k?t?t?2? c?t??rect?expr0????T?(3.1)
构造参考函数r?t?
?t?2? r?t??rect??j?ktr?exp?????T?(3.2)
其中，t0?T/2??T?/2，t0?T/2?T?/2，即r?t?的支撑域包含了c?t?的支撑域。
则c?t?与r?t?相乘的结果p?t?为：
p?t??c?t??r?t?
?t?t0?2 ?rect? ?j2??krt0?t?j?krt0??exp????T?(3.3)
对p?t?进行Fourier变换有：
?T? P????FFT?pt?T?sinc??2?kt?????r0???2???(3.4)
式(3.3)过程即称为dechirp处理，式(2.63)的过程称为频谱分析处理。 通过观察式(3.2)可见，对于中心时刻位于t0的chirp信号，经过dechirp及频谱分析处理之后变成了一个在频域中心位于2?krt0、宽度为4?/T的sinc信号。
3.2 SPECAN算法的方位向处理
原始数据距离向FFT距离向参考函数距离向IFFT方位向参考函数方位向FFT SPECAN算法的流程图
SPECAN算法正是利用了dechirp及频谱分析的方法来进行数据的方位向处理。其流程如上图所示。
SPECAN算法的原理示意如下图所示。运动平台S从S1飞行到S2，飞行距离为一个合成孔径长度，但对应于覆盖地面方位向则为两个合成孔径长度。同一距离上的一族目标的多普勒历程示于图 (b)中，它们是一族chirp信号，每个时
刻点接收的信号来自多个目标回波的叠加，而每个频率是由无数个目标的回波信息组成。因为目标的频率是斜线，因此无论在时域还是频域，都不可能把目标分离开。显然，如果选择一个与回波信号频率相反的参考函数（图(c)）对回波信号进行差频处理，就可将回波信号的多普勒历程变为图 (d)所示，即每个目标的频率平行于时间轴，这时就可在频域将信号分开。
S1S2Ba/2-Ts/2Ts/2t-Ba/212(a)fBa/2-Ts/2t-Ba/2-Ba(c)(d)Ts/2tBa3(b)ff-Ts/2Ts/2
SPECAN 算法原理示意图
下面仍以点目标的回波信号模型来推导SPECAN算法的原理。
根据3节的分析，经过与RD算法相同的距离向处理以后的信号sr(?,ta)为：
??sr(?,ta)???Wa(ta)exp?j?fdr??2?2Rs?X????A??t???a??r??
cv??a????(3.5)
构造相应的参考函数为：
ga(ta)?exp(?j?fdrta)
2(3.6)
对回波信号进行dechirp处理，得到：
d(?,ta)?sr(?,ta)?ga(ta)
(3.7)
?X? ???Wa(ta)exp??j2?fdrta??Arva??2Rs??????
c??对慢时间ta作方位向Fourier变换，得到最终的成像结果：
?2Rs?X??Sa(?,fa)???Wa(ta)Aa?ta?fdrA???r??
vc??a??(3.8)
其中，fa为慢时间频率，方位向处理结果的包络Aa为：
?Aa?ta?fdr??sin?TaX????va??Ta????X?f?f/2?dr?a?va???fa?fdrX??/2va? (3.9)
Ta为点目标回波的持续时间。
可见，经过SPECAN算法的距离向和方位向处理后，点目标的处理结果为信号平面上?fdrX/va,2Rs/c?处的一个方位向受天线方向图调制的二维sinc函数，其峰值大小与点目标的后向散射系数有关。
4 CS算法原理
CS算法利用Chirp Scaling原理，在信号变换到二维频域之前，先初步校正所有距离单元的距离徙动曲线，使之与参考距离处的距离徙动曲线相同。这样的曲线函数仅与方位向有关，并不随距离的变化而变化，因此可以在二维频域通过简单的相位相乘完成距离徙动校正，从而避免了复杂的插值运算，这也正是CS算法与RD算法相比最大的优势所在。
CS算法的流程示意图如下图所示。由图中可见，CS算法是以方位向FFT而不是距离向处理开始，并且以方位向IFFT结束，距离向处理则隐含在中间。这种处理流程使得CS算法与RD算法相比，多需要两次数据矩阵转角处理。三次转角处理也是CS算法的一大特点。另外可以看到，在整个处理过程中，CS算法只用到了两种操作：FFT/IFFT和复乘。
：表示压缩前的chirp信号 ：表示压缩后的sinc信号 sr(x,r) 距离向 信号形式 距离徙动曲线 方位向 信号形式 方位向FFT *完成 原始数据 tr ?1(fa,tr,rref) Chirp Scaling ta fr 距离向FFT *完成 ?2(fa,fr,rref) 距离徙动校正 二次距离压缩 距离压缩 fa tr 距离向IFFT *完成 ?3(fa,tr) 相位残差补偿 方位压缩 fa tr 方位向IFFT I(x,r) 最终图像 ta
Chirp Scaling算法流程示意图
如图中所示，CS算法共需要进行三次相位因子相乘：第一次相位因子相乘在距离－多普勒域进行，目的是进行Chirp Scaling处理，使所有距离单元的距离徙动曲线形状一致，与参考距离处的距离徙动曲线相同；第二次相位因子相乘在二维频域进行，目的是同时完成距离向处理和距离徙动校正，其中距离向处理包括距离压缩和二次距离压缩；第三次相位因子相乘在距离－多普勒域进行，目的是补偿Chirp Scaling处理时引入的相位误差，同时完成方位压缩。下面逐一介绍CS算法各个步骤的理论公式及相应的物理意义。
4.1 方位向FFT
基带回波信号可表示为：
sr(?,ta;Rs)?Wa?ta?s0???2R(ta,Rs)/c??
?? exp??j?kr??2R(ta,Rs)??????c??2?4????exp?jR(ta,Rs)? ???????(4.1)
其中：
R(ta,Rs)?22Rs?(vata) (4.2)
Wa为天线方向图加权，s0为发射信号包络，ta为方位向时间，?为距离向时
间，kr为发射信号的调频斜率，Rs为目标与雷达的最短斜距。式(2.69)中第一个指数项表示距离向的相位调制，第二个指数项表示方位向的相位调制。
根据驻定相位原理，经方位向FFT后，sr(?,ta;Rs)在距离－多普勒域的表达式sr(?,fa;Rs)为：
2Rfa(fa,Rs)??Rsfa???sr(?,fa;Rs)?Wa???? ?s0???22va??c??2??2R(f,R)????faas exp??j?Ks(fa,Rs)??????
c??????(4.3)
1/22??????fa?4??? exp??j?Rs?1??? ????2va????????其中，C为复常数，Rf(fa,Rs)为距离徙动在距离-多普勒域的表示：
a??fa?Rfa(fa,Rs)?Rs/1??? ?2va?2(4.4)
令：
Cs(fa)?1??fa?1????2va?2?1
(4.5)
则有：
Rfa(fa,Rs)?Rs[1?Cs(fa)]
(4.6)
Ks(fa,Rs)为实际的距离向调频斜率：
Ks(fa,Rs)?1?krRs2?c2kr??fa???2va??2
(4.7)
2???fa???1????2v?a?????3/2令：
??fa????2va?2??fa,Rs??2?c2???fa???1??????2va????23/2
(4.8)
则有：
1Ks?fa,Rs??1kr?Rs???fa,Rs?
(4.9)
在上面的推导中，式(4.5)定义的Cs(fa)称为弯曲因子，由式(4.6)可知，由于不同距离处对弯曲因子的加权不同，因此不同距离处目标的距离徙动曲线也就不同。弯曲因子Cs(fa)是用来进行Chirp Scaling处理的关键。
式(4.8)定义的?(fa,Rs)称为为距离失真因子，它的存在使得不同目标回波的距离向调频斜率不一致，如果不补偿将导致距离向散焦。对距离失真?(fa,Rs)的补偿就是二次距离压缩处理（SRC）。
由此可见，式(4.3)的第一个指数项仍表示距离向相位调制，第二个指数项仍表示方位向相位调制。同时可以看出，目标的距离徙动是随方位向多普勒频率fa及Rs变化的函数，目标回波的距离向调频斜率也是随fa以及Rs变化的函数。
4.2 Chirp Scaling处理
简单说来，Chirp Scaling处理的基本原理是：对目标回波的相位进行微调，使得距离压缩结果在位置上发生偏移，不同距离单元内的目标，其偏移量也不同。
借此来调整各距离单元目标的距离徙动曲线，使之与参考距离的距离徙动曲线一致，从而可以对所有目标进行统一的距离徙动校正。
构造Chirp Scaling因子：
?1(?,fa;Rref)?exp??j?Ks(fa,Rref)Cs(fa)?
? ????2Rf(fa,Rref)/c?a2?
(4.10)
其中：
Ks(fa,Rref)?K(fa,Rs)
(4.12)
则对距离Rs处的Chirp Scaling处理可表示为：
sr(?,fa;Rs)??1(?,fa;Rref?Rsfa?)?Wa??22va???? ?1/2?2Rfa(fa,Rs)????fa2?4??? s0???exp?jR1?()???s?c?2v??a????2 exp??j?Ks(fa,Rref)?1?Cs(f)??? ?(???(fa))?????? ??(4.13)
exp??????fa;Rs???
其中，???fa;Rs?为Chirp Scaling处理引入的相位残差
???fa;Rs??4?c2Ks?f;rref??a?1?Cs?fa???Cs?fa??Rs?Rref?2
(4.14)
?(fa)为回波信号相位中心的变化轨迹，可表示为：
??(fa)?2??Rs?RrefCs(fa)?/c
(4.15)
也就是说：目标在距离－多普勒域的距离徙动曲线变为：
Rfa(fa,Rs)?Rs?RrefCs(fa)
(4.16)
其变化量为：
?Rfa(fa)?RrefCs(fa)
(4.17)
上式说明?Rf(fa)与距离Rs无关，仅为fa的函数，其物理意义是：各距离
a单元内目标的距离徙动曲线形状相同，更加有利于在频域进行距离徙动校正。Chirp Scaling处理中引入的相位残差??(fa,Rs)在方位压缩时较容易补偿，不会
损失精度。
4.3 距离向处理、距离徙动校正
Chirp Scaling处理后，再经距离向FFT，信号在二维频域(f?,fa)上的表达式为：
??R?f??frS2(f?,fa)?Wa??s2a?s0??? ???2va??Ks?1?Cs???1/22?????fa?4?? exp??jRs?1?????j???2v?a??????????fa;Rs???
??(4.18)
2??f??? exp?j???
Ks(fa,Rref)?1?Cs(fa)????? exp??j??4?c?? f?R?RC(f)refsa???s?式(4.18)中，第一个指数项表示方位向相位调制及残差相位；第二个指数项表示距离向chirp调制；第三个指数项则包含了每个点目标的实际距离徙动量。相应的，CS算法的第二个相位因子为：
?2(f?,fa;Rref2??f???)?exp??j???
Ks(fa,Rref)?1?Cs(fa)?????(4.19)
exp?j??4?c?f?RrefCs(fa)?
?式(4.19)中的第一项用来完成距离向处理及二次距离压缩，第二项用来完成距离徙动校正。
4.4 相位残差补偿、方位压缩
经距离向IFFT后的信号S3??,fa?为：
?R?f??2RsS3??,fa??Wa??s2a?Ar???2va??c???? ?(4.20)
1/22??????fa?4????exp??jRs?1???exp??j??(fa,Rs)? ????2va????????其中，第一个指数项表示方位向chirp调制，第二个指数项表示进行Chirp Scaling处理时与?1(?,fa;Rref)相乘后引入的相位残差。由此可得，CS算法的第三个相位因子为：
??2???3(?,fa)?exp??jc??1?????????f?2?a?1????2va??????1/2????? ?????(4.21)
exp?j??(fa,Rs)?
?3(?,fa)的第一项用来实现方位向匹配滤波，第二项则用来校正相位残差。
4.5 方位向IFFT处理
经方位向IFFT处理完成方位压缩后的最终成像结果为。
2Rs??s4??,ta??Wa?ta?Aa?ta?Ar????
c??(4.22)
其中，Aa?ta?及Ar???分别为方位向处理及距离向处理后的包络。