??5＋x＋35＋y＋10＝100，?

?0.04×5×100＝x，?

??x＝20，

解得?

?y＝30.?

频率30

频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的为＝0.06，所以补全

组距100×5的频率分布直方图如下：

(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，

5

年龄在[25,30)内的市民的人数为5×＝1，记为A1，年龄在[30,35)内的市民的人数为

2520

5×＝4，分别记为B1，B2，B3，B4. 25

从这5人中任选2人的所有基本事件为：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{B1，

B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共10个．

记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M，则M所包含的基本事件有4个：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}．

42

所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)＝＝.

105

2.古典概型与其他知识的交汇问题

[典例] 设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，求使事件Cn的概率最大的n的所有可能取值．

[解题指导] 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)． 若点P(a，b)落在直线x＋y＝n(2≤n≤5)上，则： 当n＝2时，点P只能是(1,1)； 当n＝3时，点P可能是(1,2)，(2,1)； 当n＝4时，点P可能是(1,3)，(2,2)； 当n＝5时，点P只能是(2,3)．

故事件C3，C4的概率最大，所以n可取3或4.

[多维探究]

古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例3是古典概型与统计的交汇问题．另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题．

[角度一] 古典概型与方程相结合问题

设关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解：设事件A为“方程x＋2ax＋b＝0有实根”．

当a≥0，b≥0时，方程x＋2ax＋b＝0有实根意味着Δ＝(2a)－4b≥0，即a≥b. 基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个．其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．而事件A包93

含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.

124

[角度二] 古典概型与函数相结合问题

袋里装有五个球，号码依次为1,2,3,4,5，设号码为x的球重(x－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？

解：设质量相等的两球的号码分别是m，n，m≠n，则有m－5m＋30＝n－5n＋30，解得m＋n＝5.而五个球中任意取两球的基本事件共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码21

分别是{1，4}或{2，3}，所以P＝＝.

105

[角度三] 古典概型与新定义相结合问题

“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是多少？

解：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”为2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中17任取一数比37大的概率是.

36

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[随堂即时演练]

1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )

1A. 6

5B． 36

C.

1 121D． 2

??x＝1，

解析：选C 由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以?

?y＝2???x＝2，

?

?y＝4?

或

??x＝3，

或?

?y＝6?

共3种情况，

31

所以P＝＝.

3612

2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )

A.C.7 3611 36

1B． 45D． 12

解析：选C 由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，11

(5,6)11个．∴概率P＝.

36

3．从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为________．

解析：根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3＝12个，直线y＝kx＋b不经过第四象限，则k>0，b>0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算21

公式可知直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率P＝＝.

126

1答案：

6

4．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．

解析：“任意闭合其中的两个开关”所包含的基本事件总数是10，“电路接通”包含63

个基本事件，所以电路接通的概率P＝. 5

3答案： 5

5．(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．

(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．

93

因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.

155

[课时达标检测]

一、选择题

1．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为( )

1

A. 5C.3 10

2B． 57D． 10

答案：B

2．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为( )

1A. 91C. 3答案：A

8

3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下

9列哪个事件的概率( )

A．颜色全同

B．颜色不全同 2B． 95D． 9